正方形ABCD中，BD弧以C为圆心，E∈AD，BE交BD弧于F，EG⊥AD交 CF于G，证：AE+EG=GC

王守恩

好题！谢谢 ccmmjj ！

\(求:GC=AE+EG,即:GC+CH+HG=2HE\)

\(方法一:GC=1,CH=\cos(2\alpha),HG=\sin(2\alpha)\)

\(已知:\frac{HE-1}{\sin(\alpha)}=\frac{HE-\sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)},求:k=\frac{1+\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)}{2HE}=1\)

\(方法二:\frac{GC+CH+HG}{2HE}=\frac{(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))+(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))/\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))/\cos(2\alpha)}{2\cos(\alpha)}=1\)

方法三:......

ccmmjj

根据“玉树临风”网友提供的思路，给出如下纯几何解答（是一个精彩的证明）。
证明：连接BD交EH（即EG延长到BC的点H）于I，在AB上截得点J使
        BJ=BH=AE，作圆J半径为BJ，则CF=CB，易证CF为圆J切线。
        显然EH亦为圆J切线，切点为I。所以GF=GI。
        若令正方形边长为a，则EH=CF=a, 可得:  GC=a-GF
        又知BHI是等腰直角，所以AE=BH=IH，并知 GF=GI
         故    AE+EG=IH+EG=EH-GI=a-GI 即得  AE+EG=GC。

kanyikan

luyuanhong

楼上 ccmmjj 和 kanyikan 的解答已收藏。