三次式f(x)除以 (x-1)(x+1)^2 余式 x^2+x+1，除以 (x-1)^2 余式 -x+4，求 f(x) 常数项

a0952775081

請教這題多項式

luyuanhong

题  实系数三次多项式 f(x) 除以 (x-1)(x+1)^2 的余式为 x^2+x+1 ，除以 (x-1)^2

的余式为 -x+4 ，求 f(x) 的常数项。

解  因为三次多项式 f(x) 除以 (x-1)(x+1)^2 的余式为 x^2+x+1 ，所以有

    f(x) = k(x-1)(x+1)^2+x^2+x+1 （其中 k 是某个常系数）。

   又因为 f(x) 除以 (x-1)^2 的余式为 -x+4 ，所以 f(x)+x-4 必定能被 (x-1)^2 除尽：

   f(x)+x-4 = k(x-1)(x+1)^2+x^2+x+1+x-4

        = k(x-1)(x-1+2)^2+(x-1)^2+4(x-1)

    = k(x-1)^3+(4k+1)(x-1)^2+(4k+4)(x-1) 。

   从上式可以看出，它要能被 (x-1)^2 除尽，最后一项系数必须为 0 ，即要有

      4k+4 = 0 ，k = -4/4 = -1 。

   所以有

    f(x) = (-1)(x-1)(x+1)^2+x^2+x+1 = -x^3+2x+2 。

   可见，f(x) 的常数项为 2 。

a0952775081

謝謝陸老師，我想通了

波斯猫猫

题：三次式f(x)除以 (x-1)(x+1)^2 余式 x^2+x+1，除以 (x-1)^2 余式 -x+4，求 f(x) 常数项。

思路：由条件可设，f(x)=a (x-1)(x+1)^2 + x^2+x+1，f(x)=(ax+b) (x-1)^2 -x+4，

故f(0)=1-a=b+4，且f(-1)=1=4(b-a)+5。解得a=-1。故 f(x) 常数项为f(0)=1-a=2。

luyuanhong

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