所谓的“睡美人概率悖论”何悖之有？

Ysu2008

        你自愿参加了一个不同寻常的实验。作为志愿者，你将在星期日服下一片可以让你安稳睡上3天的“安眠药”。在你睡着之后，研究人员会投掷一枚无偏差硬币，这意味着正反面出现的概率均为1/2：若正面朝上，你会在星期一被叫醒并接受提问，之后你将继续沉睡至两天后药物失效；若反面朝上，你会在星期一和星期二两次被叫醒，并分别接受提问。

        “安眠药”会导致短暂的失忆，这意味着在提问环节中你并不会记得自己是否已经被叫醒且提问过。不过，你还是会记得服用“安眠药”之前发生的事情，包括本次实验的设定。当然，你也拥有正常的逻辑思考能力。实验中被叫醒后，研究人员会询问你：这枚硬币正面朝上的可能性为多大？

        以上就是1999年在网络上受到广泛关注的“睡美人”问题，而且这个问题如今已经成为有关末日论证的争论中不可或缺的一部分——无论是基于贝叶斯模型还是卡特—莱斯利模型。物理学家丹尼斯·德克斯认为“睡美人”问题和末日论证“结构相同，两者的分析也可以互通”。

        “睡美人”的问题设定是基于伦敦大学学院哲学家阿诺德·祖波夫（Arnold Zuboff）早在1983年设计的思想实验“唤醒游戏”。在其1990年发表的论文中，祖波夫描述了一个在“巨大的酒店”中进行的通过掷骰子决定唤醒沉睡者的游戏。罗伯特·斯托纳克（Robert Stalnaker）了解到祖波夫所做的实验，将其命名为“睡美人”问题，这个名字更吸引人。这个谜题在波士顿地区的哲学家圈子内流传，并最终精简成了一个沉睡者被唤醒一次或两次的问题。在麻省理工学院攻读博士学位的亚当·埃尔加（Adam Elga）从斯托纳克那里听说了“睡美人”问题之后，在布朗大学做了一次有关这一主题的演讲。当时还在布朗大学读研究生的莎拉·怀特（Sarah Wright）正巧听了这次演讲，并把这个谜题讲给布朗大学的哲学家詹姆斯·德雷尔（James Dreier）。德雷尔正是那个于1999年3月15日将“睡美人”问题发布在网站上的人。2000年，埃尔加成为第一个将“睡美人”问题发表在哲学期刊《分析》（Analysis）上的人。如今，关于“睡美人”问题已经有了大量的文献研究，该问题高度概括了自抽样假设的精要。

        对于“睡美人”问题——这枚硬币正面朝上的可能性多大？争论的观点主要分为两派：硬币正面朝上的概率为二分之一或三分之一。

        支持二分之一说的人认为，既然已知所投掷的是一枚无偏差硬币，解答“睡美人”问题的关键就在于，实验中所经历的事情是否会让参与实验的这位沉睡者改变既有观点。事实上，实验中，沉睡者只知道自己被叫醒并接受了提问一次，由于实验的设定，沉睡者因为不记得是否接受过提问，所以并不知道他是第几次被叫醒，即从沉睡者的角度来说，他的醒来与硬币哪一面朝上无关。因此，如果对无偏差硬币的理解无误，又知道沉睡者改变既有观点并不会因为实验内容所改变，二分之一说便顺理成章。

        支持三分之一说的人则认为，实验中一共有三种不可区分的“唤醒场景”：①沉睡者周一被叫醒，硬币正面朝上（但沉睡者不知道）；②沉睡者周一被叫醒，硬币反面朝上（但沉睡者不知道）；③沉睡者周二被叫醒，硬币反面朝上（但沉睡者不知道）。被唤醒的当下，沉睡者没有任何主观意愿偏向其中一种场景，因此他们遵从“无差别原则”。这三种场景发生的概率相同，却只有其中一种对应的是硬币正面朝上，因此，硬币正面朝上的概率为三分之一。

假设沉睡者醒来后，房间的墙上贴着一张赌注，上面写着：
        赌注
        若硬币反面朝上，签注人赢得20美元，若硬币正面朝上，签注人则输掉30美元。
        签字人：____________

        对于三分之一说的支持者，这无疑是一份好交易。平均下来，沉睡者预计有三分之二的概率硬币反面朝上（赢得20美元），三分之一的概率硬币正面朝上（输掉30美元），于是他得出的预期收益是3.33美元。如果这个实验和赌注重复多次，三分之一说的支持者平均每一份赌注都会赢得3.33美元。

        反之，二分之一说的支持者则不会签署这份赌注，因为他预计有二分之一的概率硬币反面朝上（赢得20美元），二分之一的概率硬币正面朝上（输掉30美元），那么他平均每一份赌注会输掉5美元。

        究竟哪一派是对的呢？

        其实到目前为止，人们已经普遍达成了一个共识：如果实验重复多次，且每一次沉睡者醒来都提供同样的赌注，那么长远来看签署赌注的人（三分之一说支持者）会赚钱，而拒绝赌注的人（二分之一说支持者）则会错失赚钱的良机。

——以上文字摘录自《概率思维预测未来》第8章第1部分


        以下是我的看法。

        均匀硬币在任何时候正面朝上的概率都是1/2，这是不以人的意志改变的自然法则。这个所谓的“睡美人悖论”甚至都谈不上是一个问题。

        那么，1/3这个结论是如何被“分析”出来的呢？注意实验人员将被试者唤醒后，问的是：“这枚硬币正面朝上的可能性为多大？”然而，经过我对文中的分析反复进行分析后发现，这个问题的完整表述应该是：“星期日投掷的那次硬币，正面朝上的可能性为多大？”

        只不过简约版的“可能性”与完整版的“可能性”，在可能性上数值相等，仅此而已。

        就是说，验证赌博协议上的“正反面”，用的是星期日的那次投掷结果。

        按规则，实验人员星期日若掷得正面，将在星期一唤醒被试并询问正面概率，被试若签下赌博协议，将有1/2的概率损失30美刀；星期日若掷得反面，被试将被唤醒两次，若都签下赌博协议，将有1/2的概率获得20+20=40美刀。如此，若每次都签协议，每次实验的期望收益为\(\frac{1}{2}\times\left( -30\right)+\frac{1}{2}\times40=5\)美刀。签协议当然收益为正。

        假设进行\(2n\)次实验，将有\(n\)次正面，叫醒\(n\)次；\(n\)次反面，叫醒\(2n\)次；叫醒总次数\(=n+2n=3n\)，其中正面朝上占\(\frac{n}{3n}=\frac{1}{3}\)——这就是正面朝上概率为 1/3 的幻觉来源。

        只要在签署赌博协议后，再投掷一次硬币，以最新投掷的结果兑现赌博协议，立马就现出原形了。因为每次下注的期望收益为\(\frac{1}{2}\times20+\frac{1}{2}\times\left( -30\right)=-5\)美刀，那些误信正面1/3概率的人，妄图与自然法则对抗的赌徒，最终只能落得用私密视频偿还赌债的可悲下场。

cgl_74

感谢Ysu2008提供的材料。
我先发表一下对书中内容的理解。至于Ysu2008的个人看法，说实话，我没有怎么看懂，先不讨论。

本质上说，2种看法的矛盾在于题目设置中对概率的定义存在一定的含糊和误导。我自己是支持1/2的说法。至于签署赌博协议那个，则又是改变了原来的概念，回到了正常概率的定义上来，所以说那个赌博协议签署了的确是赚钱的。

一、我们说均匀硬币，有1/2几率正面朝上，这是因为正反两面是均势的，没有哪一面占优。由概率归一律，概率各为1/2. 同样的情况见均匀的骰子，每面概率为1/6。这就是概率原始的定义来源，思路也很清晰。

二、贝叶斯法则的精髓在于，利用新观察到的事实，对已经发生的事实进行推测；而且新的观察可以持续，形成新的观察事实，再对原来第一次发生的事件进行判断。
举例：2个外观一样的硬币，一枚是均匀的，一枚是不均匀的（正面朝上是1/3几率）。第一步：随机抽取一枚硬币；第二步，投掷这枚硬币；结果发现是正面朝上。问：这枚硬币是均匀的概率？
思路：第一步，虽然步知道抽取哪一种硬币（各1/2概率）；但是该事件已经发生，不可更改。第二步中观察到的正面朝上的事实，是对判断有帮助的。因为来自均匀硬币和非均匀硬币，对正面朝上的贡献是不一样的。而且不断重复第二步，观察到的事实越多，越有把握。这时适合用贝叶斯法则来评估。

三、回到本题。主要焦点在3种情况是否概率一样？即（正面，周一），（反面，周一），（反面，周二）这3种情况概率一样？
1、显然这里没有明确原理或证据支撑，像第一部分所说那样。题目把人设置在那样一个“不正常”的状态下进行判断，人有理由认为，我无法判断是哪一次，也无法判断哪一次几率更大，所以就均分概率。但是那种状态下的人的判断是有问题的。你在那种特殊状态下无法分辨，不等于客观事实。不是有效证据！
2、对于这种谬误，有一种思路是放大谬误。假设反面是连续问10000次，不是2次。那么岂非反面的概率就是接近100%？关键是，每一次重扔硬币，都得猜反面100%，这明显不符合事实。
3、打个比喻，问题1+1在什么情况下等于3？那当然是在算错的时候！
4、既然没有新的有效证据，那么概率就取初始时的原始概率，即1/2正，1/2反。

四、若在每次询问时签署赌博协议，这时就将含糊概率具体化了！因为协议是一样的，问一次签署一次；即正面签一次（1/2几率），反面时签署2次（1/2几率）。赢钱的概率自然就很具体的算出来。这也是文中所说的共识。

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注：这个悖论，并不是真的悖论，只是一个诡辩。与数学史上推动重大进步的那些悖论不一样。

Ysu2008

cgl_74 发表于 2023-5-18 01:16
感谢Ysu2008提供的材料。
我先发表一下对书中内容的理解。至于Ysu2008的个人看法，说实话，我没有怎么看懂 ...

签完赌博协议（同意下注），只要将硬币再抛掷一次，下注者必输。每次下注平均输5美元。

cgl_74

Ysu2008 发表于 2023-5-18 19:24
签完赌博协议（同意下注），只要将硬币再抛掷一次，下注者必输。每次下注平均输5美元。

如果你是这个意思的话，你应该就是理解错了。
你可以简单写个例子，一次正面，一次反面。再比较下总的收益，就知道是赚是赔了。

Ysu2008

签完赌博协议（同意下注），若不再抛掷硬币，而是以星期日抛掷的硬币结果为准，则下注者必赢。每次实验平均赢得5美元。

因下注而获利，并不是因为反面朝上的概率为2/3带来的，而是由于正反面赔率不同。

我确信星期日硬币正面朝上的概率为1/2，而非1/3，但我依然会下注。只因按照规则，每次都签协议，有1/2概率失去30美元，但有1/2概率获得40美元，期望收益+5美元。

Ysu2008

别以为有一大群哲学家、物理学家、麻省高才生参与讨论，这个问题就如何高深莫测了。
别忘记史上那著名的“三门概率问题”导致的悲剧性一幕，嘿嘿。

cgl_74

概率论经过俄国数学家柯尔莫哥洛夫公理化之后，已经是一门很严谨的数学。
概率看上去很简单，凭直觉就可以做。但是概率其实很多时候是反直觉的，凭直觉得出的结论很多时候是错误的。概率需要严谨的推导和计算，不能靠直觉。
掌握概率要靠专门的学习和训练。哪怕是一些数学家，没有专门的训练，凭直觉做也会出错。
我学习概率断断续续也有几年了，踩过一些坑，也碰到过一些很难理解的问题。好歹也走过来了，理解并建立了自己的概率思维系统。
有概率上的问题和有趣的结论，大家可以多交流！

Ysu2008

cgl_74 发表于 2023-5-19 01:11
概率论经过俄国数学家柯尔莫哥洛夫公理化之后，已经是一门很严谨的数学。
概率看上去很简单，凭直觉就可以 ...

我不知道这个问题是如何把这帮人搞晕的。
他们是如何犯晕的，倒是很让我犯晕。