O 和 H 分别是 ΔABC 的外心和垂心，M 是 BC 中点。证明（1）AH=2OM（2）∠BAO=∠CAH

天山草 · 发表于 2023-5-18 10:28

这是一道极简单的几何题。

复解析方法如下：

纯几何方法咋证？

denglongshan · 发表于 2023-5-18 20:19

天山草 · 发表于 2023-5-18 21:23

luyuanhong · 发表于 2023-5-19 12:03

楼上天山草的解答已收藏。

天山草 · 发表于 2023-5-20 13:12

本帖最后由天山草于 2023-5-20 14:09 编辑

就是因为这道题，让我惊奇这么一个简单而重要的东西我竟然一无所知，而【纯几何吧】的网友是把它当作一个谁都知道的普通定理在使用着。于是立即在当当网上网购了【几何瑰宝】上、下两册厚书，因为估计这书中会谈到这个定理。果然，收到书后，在上册 125 页中有这个东西的论述。

这个定理还有五个推论和几个推广：

下面用复解析法证明推论 5 —— 三角形的外心到它的各顶点的向量之和等于外心到它垂心间的向量。

【几何瑰宝】（第 2 版）有上、下两册，上册 734 页，下册 821 页。两册总厚度 7 厘米。当当网上 108 元可买到（需另加运费 8 元）。最贵的是 168 元，也就是此书的定价。我买到的 108 元的看来也是正品，没有发现有什么毛病。

denglongshan · 发表于 2023-5-20 20:29

设O为原点，可得h=a+b+c,于是结论可证

denglongshan · 发表于 2023-5-21 21:17

本帖最后由 denglongshan 于 2023-5-21 21:22 编辑

由\[h=a+b+c\]得\[\frac{h}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b+c}{2}=m_{a }+m_{a1 }\]，几何意义是\(O_{ 9}=M_{ a}+M_{ a1}\),
\(O_{ 9}\)是九点圆心，外心与垂心的中点。
该结论可以推出九点圆的其他性质

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O 和 H 分别是 ΔABC 的外心和垂心，M 是 BC 中点。证明（1）AH=2OM（2）∠BAO=∠CAH

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