环状带的面积相等，这是为什么？ From Jap 《NEWTON》

dodonaomikiki

如图所示！
我们不妨假设：球体半径=r
环状带切片的高度=h

天山草

环带表面积只与它的厚度\(h\)有关，而与切割的位置无关。许多人没有注意到这个有趣的结论，原因是中学老师没有讲这个事情，数学手册上也都没有强调这一点，甚至没有列出这个公式  \(S=2πRh\)。中学老师不讲是有原因的，因为得到这个公式需要用到微积分，不是中学生的知识重点。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

dodonaomikiki

下面，我比较【实实在在】的计算一下，
但是，
【余项】很多~~~以至于，我不晓得我的方法可行不可行？如果不可行，有错在哪里呢？

dodonaomikiki

这个老师图形的部分截取，
针对这一块，
着重进行计算

dodonaomikiki

相似三角形一用，
很明显的：


\begin{align*}
\frac{h}{?}&=   \frac{   r}{H} \\

\Longrightarrow      ?&= \frac{Hh}{r}  \\
\end{align*}



\begin{align*}
那么接下来，\\
似乎可以急速进入【正题】，\\
对环状带的面积，进行计算\\
   Area&= \pi  (  r+    \frac{Hh}{r}      )^2-\pi    \bullet      r^2\\
&=  \pi  \bullet  2r  \bullet    \frac{Hh}{r}  +\pi    \bullet    \frac{  H ^2   \bullet   h ^2     }{ r ^2   }\\
&=\pi  (2Hh  +  \frac{  H ^2   \bullet   h ^2     }{ r ^2  }\\
&=\pi  (2Hh  +  \frac{  (R^2 -r^2 )  h ^2     }{ r ^2   }\\
&=\pi  (2Hh  +  \frac{  R^2 }{r^2 }  \bullet    h ^2  -h ^2 )\\
&=\pi  (2\bullet \sqrt{ R^2 -r^2   }\bullet h  +  \frac{  R^2 }{r^2 }  \bullet    h ^2  -h ^2 )\\
&=\pi  h(2\bullet \sqrt{ R^2 -r^2   }  +  \frac{  R^2 }{r^2 }  \bullet    h   -h  )\\


\end{align*}


接下来，
我就很想不通：\(   (2\bullet \sqrt{ R^2 -r^2   }  +  \frac{  R^2 }{r^2 }  \bullet    h   -h )  \) 怎么会等于\(2\bullet R\)  的?