Affirm Transformation~~~\(\Gamma: \frac{ x^2}{2}+y^2=1\)与双曲线结合之后

dodonaomikiki

\begin{align*}
\Gamma:  \frac{  x^2}{2}+y^2&=1\\
左右焦点为&F1,F2\\
上顶点&A\\
直线l过点(\sqrt{3},   0）,交双曲线x^2-y^2&=1\\
右支于点&M,N\\
点P在这个&椭圆上\\
请计算&Area(PMN)之取值范围\\
\end{align*}

dodonaomikiki

原作者采用了高度的技巧，
包括仿射以及焦点弦长度，
确实不得不说，技巧性很强

dodonaomikiki

但如若，
不用仿射，或者用了仿射却不用焦点弦长度，
有无可能，把问题解决之？

dodonaomikiki

希望有更加质朴、拙实之法，
解决之

dodonaomikiki

`        仿射应该可以大大减轻计算量
仿射之后的图，
绘制出来 X=x根号2 , Y=y

dodonaomikiki

现在看来，
双曲线焦点弦长度公式这个二级结论也是蛮好的，
应该记住
如果【重新推】，
实在不划算，
在考试中不可行



以下全部是仿射之后的情况
\begin{align*}
e&=\frac{c}{a}=\frac{ \sqrt{ \frac{1}{2}  +1  }    }{ \frac{1}{2}    }=\frac{  \sqrt{ 3}       }{  \sqrt{  1}        }\\
&= \sqrt{ 3} \\
p&=\frac{   b ^2      }{c}=\frac{  1     }{  \sqrt{ \frac{3}{2}   }  }\\
&=\frac{   \sqrt{2}   }{   \sqrt{3}    }\\
&=\frac{    \sqrt{ 6}       }{3}\\


Set:  d&=\frac{  2ep     }{     1-e^2cos^2\theta         }\\

&=\frac{     2 \bullet    \sqrt{3}   \bullet   \frac{    \sqrt{ 6}       }{3}     }{      1-3 cos^2\theta      }\\

&=\frac{     2 \bullet   \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{3}   }       }{      1-3 cos^2\theta      }\\
&=\frac{     2 \bullet   \sqrt{2}     }{      1-3 cos^2\theta      }\\
\end{align*}






=\frac{}{}\frac{}{}=\frac{}{}\frac{}{}

dodonaomikiki

圆心到\(        新Q的距离       =\sqrt{ 1,5  }  sin\theta         \)
单位圆上的点，到\(        新Q的距离（max）=\sqrt{ 1,5  }  sin\theta   +1        \)
单位圆上的点，到\(        新Q的距离（min）=\sqrt{ 1,5  }  sin\theta-1           \)

dodonaomikiki

\begin{align*}
圆心到       新Q的距离      & =\sqrt{ 1,5  }  sin\theta       \\
\end{align*}



\(              AREA      \)
\(              =\frac{d}{2}   \bullet    (单位圆上之动点，到      新Q的距离      \)
\(              =\frac{1}{2}  \bullet [    \frac{     2  \sqrt{2}     }   {      1-3 cos^2\theta      }  (  \sqrt{ 1,5  }  sin\theta-1 ),  \frac{     2   \sqrt{2}     }{      1-3 cos^2\theta      } (    \sqrt{ 1,5  }  sin\theta   +1    )                ]      \)
\(              =\frac{1}{2}  \bullet [    \frac{     2  \sqrt{2}  \bullet  \frac{1}{\sqrt{2}   }   }   {      1-3 cos^2\theta      }  (  \sqrt{ 3  }  sin\theta-\sqrt{2} ),  \frac{     2   \sqrt{2}  \bullet  \frac{1}{\sqrt{2}   }   }{      1-3 cos^2\theta      } (    \sqrt{ 3  }  sin\theta   +\sqrt{2}    )                ]      \)


\(              =\frac{1   }{ 3 sin^2-2 }[      \sqrt{ 3  }  sin\theta-\sqrt{2},    \sqrt{ 3 }  sin\theta   +\sqrt{2}      ]      \)
\(              =[\frac{1}{ \sqrt{ 3 }  sin\theta   +\sqrt{2} },   \frac{1}{  \sqrt{ 3  }  sin\theta-\sqrt{2}}     ]      \)



\(            When   \qquad   \theta=0^O,   AREA  \in [\frac{1}{\sqrt{2}}               ,  +\infty]             \)
\(            When     \qquad     \theta=90^O,    AREA  \in [   \frac{1}{   \sqrt{3}+     \sqrt{2}}   ,       \frac{1}{   \sqrt{3}-     \sqrt{2}}          ]          \)
\(            \Longrightarrow    AREA  \in   [   \sqrt{3}-     \sqrt{2}   ,     +\infty)        \)

dodonaomikiki

确实是好题！
把双曲线的基本知识通通通揉进了仿射变换中实在不错！


最终面积\(   =     AREA  \in   [   \sqrt{3}-     \sqrt{2}      ,  +\infty)    \bullet  \sqrt{2}   \bullet 1  =[   \sqrt{6}-     2   ,     +\infty)    \)

dodonaomikiki

最小面积情况下的三角形以及其她
图形确实比较优美 【仿射之后】