a,b 是正实数，已知 a+b=k ，求 (a+1/a)(b+1/b) 的最小值

xfhaoym

wintex 发表于 2023-6-3 17:13
柯西怎麽用，請問老師

对照公式。。。。。。。。。。。。。

luyuanhong

楼上 天山草 的电脑解答已收藏。

wintex

xfhaoym 发表于 2023-6-4 12:36
对照公式。。。。。。。。。。。。。

請問為何 6# 陸老師算出的最小值有兩種狀況，但老師你算出的只有一種狀況

wintex

luyuanhong 发表于 2023-6-3 20:49

請問陸老師

1. 所以11#算出右邊也未必是最小值嗎？要看k的狀況是嗎，如同算幾不等式那樣。

2.  a+b=k ， (a+1/a)(b+1/b) 的最小值，可否統一用一個含有k的表達式？

王守恩

题目: a,b 是正实数，已知 a+b=k ，求 (a+1/a)(b+1/b) 最小值

1,\(k<\sqrt{8+4\sqrt{5}}=4.11634\)

  \((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})最小值=(\frac{k}{2}+\frac{2}{k})^2\ \ \ 其中:a=\frac{k}{2},b=\frac{k}{2},\)

2,\(k\geqslant\sqrt{8+4\sqrt{5}}=4.11634\)
  \((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})最小值=2(\sqrt{k^2+1}-1)\ 其中:a=\frac{k+\sqrt{k^2-4\sqrt{k^2+1}}}{2},b=\frac{k-\sqrt{k^2-4\sqrt{k^2+1}}}{2},\)
结合前面的帖子一起看。
当然，电脑不会(不敢)把详细答案告诉你，在于你胆大的凑。譬如：2。

xfhaoym

wintex 发表于 2023-6-4 18:48
請問為何 6# 陸老師算出的最小值有兩種狀況，但老師你算出的只有一種狀況

陆老师的算法可能出现了增根吧。

王守恩

题目: a,b,c 是正实数，已知 a+b+c=k ，求 (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)最小值

电脑给出4个算式，算式(1)是标准答案
根据算式(1):可知b=c。
算式(2)=算式(1)。
算式(3)粗糙一点，k越大，最小值误差越小。
算式(4)稍好一点，k越大，最小值误差越小。
我们可以有算式(5)吗？

1. 算式(1):Table[NMinimize[{(a + 1/a) (b + 1/b) (c + 1/c), a + b + c == k,
   
2. a > 0,b > 0, c > 0}, {a, b, c}], {k, 6, 10}]

复制代码

{{15.625, {a -> 2., b -> 2., c -> 2.}}, {19.809, {a -> 4.35098, b -> 1.32451, c -> 1.32451}},
{23.8762, {a -> 5.52557, b -> 1.23722, c -> 1.23722}}, {27.9121, {a -> 6.62154,
   b -> 1.18923, c -> 1.18923}}, {31.934, {a -> 7.68391, b -> 1.15805, c -> 1.15805}}}

1. 算式(2):Table[NMinimize[{(a + 1/a) (b + 1/b)^2, a + 2 b == k,
   
2. a > b > 0}, {a, b}], {k, 6, 10}]

复制代码

{{15.625, {a -> 2., b -> 2.}}, {19.809, {a -> 4.35098,  b -> 1.32451}}, {23.8762, {a -> 5.52557,
   b -> 1.23722}}, {27.9121, {a -> 6.62154,  b -> 1.18923}}, {31.934, {a -> 7.68391, b -> 1.15805}}}

1. 算式(3):Table[N[4 ((k - 2) + 1/(k - 2)), 10], {k, 6, 10}]

复制代码

{17.00000000, 20.80000000, 24.66666667, 28.57142857, 32.50000000}

1. 算式(4):Table[N[4 (Power[(k - 1)^3 + 1, (3)^-1] - 1)], {k, 6, 10}]

复制代码

{16.0532, 20.037, 24.0272, 28.0208, 32.0165}

王守恩

17楼是3元，4元,5元,6元....规律不变。

王守恩

a,b,c 是正实数, 已知 a+b+c+d+e+f=k,  求 (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)(d+1/d)(e+1/e)(f+1/f)最小值

电脑给出4个算式，算式(1)是标准答案
根据算式(1):可知b=c=d=e=f。
算式(2)=算式(1)。k越大，最小值慢慢向算式(3)靠拢。
算式(3)粗糙一点，k越大，最小值误差越小。
算式(4)还不如算式(3)，k越大，最小值误差越小。

我们可以有算式(5)吗？

1. 算式(1):Table[NMinimize[{(a+ 1/a)(b+ 1/b)(c+ 1/c)(d+ 1/d)(e+ 1/e)(f+ 1/f),
   
2. a+b+c+d+e+f==k,a>0,b>0,c>0,d>0,e>0,f>0},{a, b, c, d, e, f}], {k, 12, 20}]

复制代码

{{214.265, {a -> 5.91076, b -> 1.21785, c -> 1.21785, d -> 1.21785, e -> 1.21785, f -> 1.21785}},
{248.039, {a -> 7.13632, b -> 1.17274, c -> 1.17274, d -> 1.17274, e -> 1.17274, f -> 1.17274}},
{281.229, {a -> 8.27649, b -> 1.1447,   c -> 1.1447,   d -> 1.1447,   e -> 1.1447,   f -> 1.1447}},
{314.096, {a -> 9.37459, b -> 1.12508, c -> 1.12508, d -> 1.12508, e -> 1.12508, f -> 1.12508}},
{346.76,   {a -> 10.4479, b -> 1.11041, c -> 1.11041, d -> 1.11041, e -> 1.11041, f -> 1.11041}},
{379.286, {a -> 11.5052, b -> 1.09896, c -> 1.09896, d -> 1.09896, e -> 1.09896, f -> 1.09896}},
{411.714, {a -> 12.5513, b -> 1.08974, c -> 1.08974, d -> 1.08974, e -> 1.08974, f -> 1.08974}},
{444.07,   {a -> 13.5893, b -> 1.08214, c -> 1.08214, d -> 1.08214, e -> 1.08214, f -> 1.08214}},
{476.37,   {a -> 14.6212, b -> 1.07575, c -> 1.07575, d -> 1.07575, e -> 1.07575, f -> 1.07575}}}

1. 算式(2):Table[NMinimize[{(a+1/a)(b+1/b)^5,a+5b==k,a>b>0},{a,b}],{k,12,20}]

复制代码

{{214.265, {a -> 5.91076, b -> 1.21785}}, {248.039, {a -> 7.13632,  b -> 1.17274}},
{281.229, {a -> 8.27649, b -> 1.1447}},   {314.096, {a -> 9.37459,  b -> 1.12508}},
{346.76,   {a -> 10.4479, b -> 1.11041}}, {379.286, {a -> 11.5052,  b -> 1.09896}},
{411.714, {a -> 12.5513, b -> 1.08974}}, {444.07,   {a -> 13.5893,  b -> 1.08214}},
{476.37,   {a -> 14.6212, b -> 1.07575}}}

1. 算式(3):Table[32 (k - 5)], {k, 12, 20}]

复制代码

{224, 256, 288, 320, 352, 384, 416, 448, 480}

1. 算式(4):Table[N[32 (Power[(k - 4)^6 + 1, (6)^-1] - 1), 10], {k, 12, 20}]

复制代码

{224., 256., 288., 320., 352., 384., 416., 448., 480.}