A(2,3),B(-9,6) 为定点，P 为圆 x^2+y^2=52 上动点，求 3PA-2PB 的最小值

wintex

A(2,3),B(-9,6) 为定点，P 为圆 x^2+y^2=52 上动点，求 3PA-2PB 的最小值

天山草

最小值应是负值，为 \(-5\sqrt{13}=-18.0278\)，此时 P 点坐标如下图所示。

天山草

人工算法我也不会。也许可以用拉格朗日乘数法？

wintex

這個提示是什么意思

OP = 2√13，OB = 3√13
在圓內找一點 C，使 △POB 和 △COP 相似
PC = (2/3)PB
-AC ≦ PA - PC ≦ AC
在 OB 上取一點 C，使 OC = (2/3)OP = (4/9)OB，易知 C(-4，8/3)
再取直線 AC 與圓在第一象限的交點為 P

天山草

wintex 发表于 2023-6-16 15:13
這個提示是什么意思

按照楼上的提示作图如下。作图得到的 P 点位置与计算得到的 P 点位置相同。
为什么这样作图得到的 P 点位置符合所求？ 请高手解答。

作图方法：
\(A\)、\(B\) 点位置已知，圆半径即 \(OP=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)，在 \(OB\)上取点  \(C\) 使 \(OC=\frac{2}{3}OP=\frac{4}{3}\sqrt{13}\)，连接 \(CA\) 并延长与圆交于 \(P\) 点。 \(P\) 点即为所求。这样作出的图可保证 \(△POB∽△POC\)。
首先可以证明 \(3PA-2PB=-3AC\)。

wintex

wintex 发表于 2023-6-16 15:13
這個提示是什么意思

OP = 2√13，OB = 3√13

想請問

wintex

wintex 发表于 2023-6-14 21:30
想請問

這個提示是什么意思

OP = 2√13，OB = 3√13
在圓內找一點 C，使 △POB 和 △COP 相似
PC = (2/3)PB
-AC ≦ PA - PC ≦ AC
在 OB 上取一點 C，使 OC = (2/3)OP = (4/9)OB，易知 C(-4，8/3)
再取直線 AC 與圓在第一象限的交點為 P

luyuanhong

luyuanhong