由1和0构成的素数

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-6-15 16:16
序号        分解式
1        11 is prime
2        101 is prime

为什么68-100号101...101型数字中没有素数，且其分解式都含有素因子7？

时空伴随者

yangchuanju 发表于 2023-6-15 16:22
为什么68-100号101...101型数字中没有素数，且其分解式都含有素因子7？

紧跟后面的十几个也没有素数
101 1011111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 41, 71, 239, 271, 4649, 123551, 102598800232111471]
102 10111111111111111111111111111111111101
= [3, 3, 7, 7, 11, 13, 13, 19, 37, 101, 9901, 52579, 333667, 999999000001]
103 101111111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 2028119, 247629013, 2212394296770203368013]
104 1011111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 13, 909090909090909091, 1111111111111111111]
105 10111111111111111111111111111111111111101
= [3, 7, 13, 37, 53, 79, 265371653, 900900900900990990990991]
106 101111111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 13, 41, 73, 101, 137, 271, 3541, 9091, 27961, 1676321, 5964848081]
107 1011111111111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361]
108 10111111111111111111111111111111111111111101
= [3, 7, 7, 7, 11, 13, 13, 37, 43, 127, 239, 1933, 2689, 4649, 459691, 909091, 10838689]
109 101111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641]
110 1011111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 11, 13, 23, 89, 101, 4093, 8779, 21649, 513239, 1052788969, 1056689261]
111 10111111111111111111111111111111111111111111101
= [3, 3, 7, 13, 31, 37, 41, 271, 238681, 333667, 2906161, 4185502830133110721]
112 101111111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 13, 47, 139, 2531, 549797184491917, 11111111111111111111111]
113 1011111111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 35121409, 316362908763458525001406154038726382279]
114 10111111111111111111111111111111111111111111111101
= [3, 7, 7, 11, 13, 13, 17, 37, 73, 101, 137, 9901, 5882353, 99990001, 9999999900000001]
115 101111111111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 13, 239, 4649, 505885997, 1976730144598190963568023014679333]
116 1011111111111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 13, 41, 251, 271, 5051, 9091, 21401, 25601, 182521213001, 78875943472201]
117 10111111111111111111111111111111111111111111111111101
= [3, 7, 13, 37, 613, 210631, 2071723, 52986961, 5363222357, 13168164561429877]
118 101111111111111111111111111111111111111111111111111101
= [7, 11, 13, 53, 79, 101, 521, 859, 265371653, 1058313049, 1900381976777332243781]

时空伴随者

yangchuanju 发表于 2023-6-15 16:22
为什么68-100号101...101型数字中没有素数，且其分解式都含有素因子7？

因为
1001=11*91
10101=111*91
101101=1111*91
1011101=11111*91
··· ···
它们都是含有素因子7、13的合数。

yangchuanju

由m=9-2个1和n=1-8个0，共可组成多少个10位整数？(数字首尾必须是数字1)
9个1+1个0：9个1之间共有8个空隙可放置0，C(8,1)=8种；

8个1+2个0：8个1之间共有7个空隙可放置0，其一0不连放：C(7,2)=7*6/2=21种；
其二2个0连放：C(7,1)=7种；

7个1+3个0：7个1之间共有6个空隙可放置0，其一0不连放：C(6,3)=6*5*4/2/3=20种；
其二3个0连放：C(6,1)=6种；
其三2个0连放，1个0单放：C(6,1)*C(5,1)=6*5=30种？

6个1+4个0：6个1之间共有5个空隙可放置0，其一0不连放：C(5,4)=C(5,1)=5种；
其二4个0连放：C(5,1)=5种；
其三3个0连放，1个0单放：C(5,1)*C(4,1)=5*4=20
其四2个0连放+2个0连放：C(5,2)=5*4/2=10
其五2个0连放+2个0单放：C(5,1)*C(4,2)=5*4*3/2=30

5个1+5个0：5个1之间共有4个空隙可放置0，其一0不连放：C(4,5)=0种；
其二5个0连放：C(4,1)=4种；
其三4个0连放，1个0单放：C(4,1)*C(3,1)=4*3=12
其四3个0连放+2个0连放：C(4,1)*C(3,1)=4*3=12
其五3个0连放+2个0单放：C(4,1)*C(3,2)=4*3=12
其六2个0连放+2个0连放+1个0单放：C(4,2)*C(2,1)=4*3/2*2=12
其七2个0连放+3个0单放：C(4,1)*C(3,3)=4*1=4

4个1+6个0：4个1之间共有3个空隙可放置0，其一0不连放：C(3,6)=0种；
其二6个0连放：C(3,1)=3种；
其三5个0连放，1个0单放：C(3,1)*C(2,1)=3*2=6
其四4个0连放+2个0连放：C(3,1)*C(2,1)=3*2=6；4个0连放+2个0单放：C(3,1)*C(2,2)=3*1=3
其五3个0连放+3个0连放：C(3,2)=3；3个0连放+2个0连放+1个0单放：C(3,1)*C(2,2)*C(1,1)=3*2*1=6
其六2个0连放+2个0连放+2个0连放：C(3,3)=1
其余无解。

3个1+7个0：3个1之间共有2个空隙可放置0，其一0不连放：C(2,7)=0种；
其二7个0连放：C(2,1)=2种；
其三6个0连放，1个0单放：C(2,1)*C(1,1)=2；
其四5个0连放+2个0连放：C(2,1)*C(1,1)=2；5个0连放+2个0单放：C(2,1)*C(1,2)=0；
其五4个0连放+3个0连放：C(2,1)*C(1,1)=2；4个0连放+2个0连放+1个0单放：无解；4个0连放+3个0单放：无解；
其六3个0连放+3个0连放+1个0单放：无解；
其余无解。

2个1+8个0：2个1之间共有1个空隙可放置0，只能是8个0连放：C(1,1)=1种。

总计共255个由1和0构成的10位（末尾为1的）整数。

Treenewbee

yangchuanju 发表于 2023-6-15 21:31
由m=9-2个1和n=1-8个0，共可组成多少个10位整数？(数字首尾必须是数字1)
9个1+1个0：9个1之间共有8个空隙 ...

首尾均为1，中间8位0,1选一个，每位可0可1，共2^8=256种选法

Treenewbee

1. x = 10^9 + 10 FromDigits /@ Tuples[{0, 1}, {8}] + 1;
   
2. y = Select[x, PrimeQ];
   
3. {Length@x, Length@y, y}

复制代码

{256,29,{1000001011,1000010101,1000011011,1000110101,1001000111,1001001011,1001010011,1001110111,1010000011,1010000111,1010001101,1010010011,1010011111,1010100011,1010110001,1010111111,1011000101,1011110011,1100001101,1100010001,1100101111,1101001001,1101010111,1101110011,1110011101,1110110011,1111011101,1111100101,1111110001}}