平面几何问题：马克劳林定理

天山草

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此题用复解析几何做，十分简单。

天山草

摘自【几何瑰宝】下册212页的纯几何证明如下。



考虑 △ABP 和点 E，由塞瓦定理的第一角元形式，并注意 ∠BAE=∠EBA，有
\(\frac{sin∠APE}{sin∠EPB}·\frac{sin∠PBE}{sin∠EAP}=\frac{sin∠APE}{sin∠EPB}·\frac{sin∠PBE}{sin∠EBA}·\frac{sin∠BAE}{sin∠EAP}=1\)，又 ∠CPE=∠APE， ∠EPD=∠EPB， ∠PDF=-∠PBE， ∠FCP=-∠EAP， ∠DCF=∠FDC，所以
\(\frac{sin∠CPE}{sin∠EPD}·\frac{sin∠PDF}{sin∠FDC}·\frac{sin∠DCF}{sin∠FCP}=\frac{sin∠EPA}{sin∠BPE}·\frac{sin∠PBE}{sin∠EAP}=1\)，再由用塞瓦定理的第一角元形式即知 PE、DF、CF 三线共点，所以 E、P、F 三点共线。同理， E、Q、F 三点共线。故 E、F、P、Q 四点共线。


上面这个纯几何证法，看得头发昏。王守恩估计熟悉这种一大堆三角函数的方法。