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若正整数 n 的 5 次幂的十进制表示各位数字由 0-3 组成,则 n=(1或2)*10的幂次。

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发表于 2023-6-24 09:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 uk702 于 2023-6-24 02:13 编辑

证明或否定:正整数 n 不是 10 的倍数,若它的 5 次幂的十进制表示中,其各位数字全部由 0,1, 2, 3 组成,则 n 只能为 1 或 2 。


(难度未知,正确与否未知,不排除天一样的难度,故请谨慎试手)
发表于 2023-6-25 11:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 小fisher 于 2023-6-26 00:44 编辑

抛砖引玉
因为自然数n的5次方与n的个位数相同,又因为n不是10的倍数,所以n的个位数只能是1,2,3
对于n=10a+1(a不是10的倍数),n^5=100000a^5+50000a^4+10000a^3+1000a^2+50a+1
观察上式,可知当a是奇数时,其十位上必定是5,当a是偶数时,其千位上必定是4或6
同理,对于n=100a+1(a 不是10的倍数),当 a是奇数时,其百位上必定是5,当a是偶数时,其十万位上必定是4或6。
n=1000a+1、n=10000a+1的情况依次类推。

点评

挺好,多谢。我也想过用末位表的方式,但由于 (10^n+1)^5 无论取末位多少位,都是 ..01,因此,有限大的末位表总是可以找到不包含 4 及以上的。  发表于 2023-6-25 14:43

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发表于 2023-6-25 12:11 | 显示全部楼层
对于n=10a+3,n^5=100000a^5+150000a^4+90000a^3+27000a^2+4050a+243
其十位数字必定是9或4
n=10a+2的情况好像比较复杂,暂时没发现这么明显的规律。

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 楼主| 发表于 2023-6-25 15:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-6-25 07:42 编辑
小fisher 发表于 2023-6-25 03:57
抛夸引玉
因为自然数n的5次方与n的个位数相同,又因为n不是10的倍数,所以n的个位数只能是1,2,3
对于n= ...


综合一下,有下列结论:

经验证,a 的 5 次幂的末位和  a  的末位相同,所以若 a 的末位大于 3,命题成立,故只需考虑 a 的末位为 1,2,3 的情况。

再验证,若 a 的末位为 x3 ,则它的末 2 位总为 43 或 93,故命题成立。


对于n=10a+1(a不是10的倍数),n^5=100000a^5+50000a^4+10000a^3+1000a^2+50a+1
观察上式,可知当a是奇数时,其十位上必定是5,当a是偶数时,其千位上必定是4或6
同理,对于n=100a+1(a 不是10的倍数),当 a是奇数时,其百位上必定是5,当a是偶数时,其十万位上必定是4或6。

n=1000a+1、n=10000a+1的情况依次类推。


则 a 的末位为 1 时也成立。

当 a 的末位为 y2 时,它的末 2 位总是为 32,千位则 y=0或5 时,千位为0;y=1或6时,千位为8;y=2或7时,千位为6;y=3或8时,千位为4;y=4或9时,千位为2;

故只剩下末 2 位为 02、42、52、92 的情况。

象 41402^5=121648457125510880112032,后面 7 位都在 0-3 之间,故如果没有其它招数的话,这个套路恐怕无法继续。


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 楼主| 发表于 2023-6-25 16:33 | 显示全部楼层
n , n^5 , n^5 中末位 0-3 的长度

102, 11040808032, 3
152, 81136812032, 5
252, 1016255020032, 6
1502, 7644510180120032, 7
2502, 98047500500200032, 8
2902, 205819747233032032, 9
25002, 9769531875050002000032, 10
105402, 13009010325646403301232032, 11
250002, 976601563125005000020000032, 12
376502, 7565479132232132100210120032, 21
248004002, 938195715078699390791123223201301120320032, 22
2350345692, 71723044782609077428374922311113213213131103232, 23
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 楼主| 发表于 2023-6-25 17:08 | 显示全部楼层
另,似乎存在整数 n,n 的十进制表示中没有任何一个数字是 0,但 n^5 的末部存在足够长的 0-3 序列。

142, 57735339232, 3
152, 81136812032, 5
252, 1016255020032, 6
2652, 131179991572012032, 7
2752, 157849113730220032, 8
3752, 743556798000300032, 9
31942, 33251445279383103003232, 10
127652, 33895193513994913332012032, 11
296542, 2293142595314606101000011232, 12
1262752, 3210630486347573090001231020032, 13
1867652, 22723738676559277700032231212032, 14
6351252, 10334672613118720669111133133100032, 15
15412192, 869605050449532264272130221101023232, 16
39631942, 97774762192371698028403030321311003232, 17
57787792, 644437055496102058766202220013113311232, 18
173447792, 156979838555867063745342031302210310111232, 19
175745692, 167657675467290263769112122032210123103232, 21
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 楼主| 发表于 2023-6-25 20:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-6-25 22:33 编辑
uk702 发表于 2023-6-25 09:08
另,似乎存在整数 n,n 的十进制表示中没有任何一个数字是 0,但 n^5 的末部存在足够长的 0-3 序列。

14 ...


#6楼中的命题数学研发论坛的老大已经证得,转如下所示。

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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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