用正方形去拟合圆的周长，得到\(\pi\)等于4的结论，错误出在哪里？

wufaxian

请看下图，直径为1的圆的外接正方形，周长等于4。第一次切掉正方形四个角的小正方形。因为切掉的是正方形，所以新的多边形周长不变，还是4。如此往复，不断的切掉小正方形。多边形的周长还是4，最终多边形会无限逼近圆的周长。最后就会得出直径为1的圆的周长=4的结论，此时就有了\(\pi=4\)  。请问这个方法的计算过程错在了哪里？ 是否可以用级数收敛或发散的角度来考虑。因为最后的多边形周长实际上是无穷多极微小正方形“两边长”的和。小正方形数量越多，单个小正方形两边长之和就越小。而一旦涉及到无穷多数字相加的时候往往就容易出“问题”。也就是说最后这无穷多个小正方形的“两边长”的和不是4。

以上是我简单的理解。但是严格的证明应该用到哪些数学工具和知识？是否可以有比较清晰的证明呢？

Ysu2008

圆外的多边形，不会逼近圆周，无论折叠多少次，它们长度和的极限就是 4，而不是\(\pi\)；

每一次折叠，单个折线段的长度都会减小，所对应的弧线段的长度也会减小，二者都是以0为极限的无穷小。但这两个无穷小并非等价无穷小，比值不为1，在极限处不能相互代换。几何上，它们不会重合。

举一个等腰直角三角形的例子说明。

天山草

按照上面的“证明”，也能“证明”直角三角形的斜边等于两条直角边的和。
看看微积分的书中关于如何求曲线长度那一节。\(dL\) ≈\(\sqrt{dx^2+dy^2}\)，而不是 \(dL\) ≈\(dx+dy\)。