【资料】ELLIPSE pole, pole line 之六

dodonaomikiki

\begin{align*}

\Gamma:   \frac{  x^2   }{    4}   + \frac{  y^2   }{    2} &=1\\
一个直线\ell经过点&P【4,1】\\
与妥园交汇于两点&A与B\\
如今在线段AB上取得一点Q\\
以期满足  AP  \bullet    QB&=AQ   \bullet     PB\\  

证明：  Q点位于某一条定直线上\\

\end{align*}

dodonaomikiki

上面附图中，
补足一条鲜粉色割线，
从而补足出来一个Self-polar   triangle

dodonaomikiki

\begin{align*}
PROOF\\
得出切线方程：\\
\begin{cases}           \frac{  xx1  }{    4}   + \frac{  yy1   }{    2} =1          \\            \frac{  xx2   }{    4}   + \frac{  yy2   }{    2} =1         \end{cases}\\
Insert       \qquad      (4,1)      \qquad     into       \qquad        them\\
\begin{cases}        x1   + \frac{  y1   }{    2} =1          \\            x2+ \frac{ y2   }{    2} =1         \end{cases}\\
\Longrightarrow    x1-x2+   \frac{  y1 -y2  }{    2}&=0\\
\Longrightarrow        y1-y2&=-2(x1-x2)\\

\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
Combine        \qquad  \Gamma\\
\begin{cases}           \frac{  4x  }{    4}   + \frac{ 1   \bullet   y  }{    2} =1          \\            \frac{  x^2   }{    4}   + \frac{  y^2   }{    2} =1         \end{cases}\\
\Longrightarrow  \\
\begin{cases}        x   + \frac{   y  }{    2} =1          \\            \frac{  x^2   }{    4}   + \frac{  y^2   }{    2} =1         \end{cases}\\
\Longrightarrow  \\
(1- \frac{   y  }{    2}   )^2+2 y^2& =4\\
1-2 \bullet     \frac{   y  }{    2}   +  \frac{   y^2  }{4}+ 2 y^2 &  =4\\
1-  y   +  \frac{   y^2  }{4}+ 2 y^2  -4&=0\\


Set一条定直线\ell :y&=-2x+b\\
\Longrightarrow     \frac{ 2+4\sqrt{7}  }{9}&= -2    \bullet    \frac{ 8-2\sqrt{7}  }{9}+b\\
2+4\sqrt{7} &=-16+4\sqrt{7} +9b\\
18&=9b\\
b&=2\\
\Longrightarrow      定直线\ell:   y&=-2x+2\\



\end{align*}

dodonaomikiki

突发奇想，
为了玩耍，把其中五个点，
用中文来表示【杨贵妃心美】，来看一看这个图形！

dodonaomikiki

结合5楼图形，
这个self-polar   triangle   就是 \(  \blacktriangle  美心P\)  

dodonaomikiki

四楼进行啦硬算，
估计有更好的办法！


于是乎，
俺要再好好想想看，
思忖一番，
有无更加简便之法

dodonaomikiki

因为字太小啦，
不容易引起眼球冲击，
搞得明显一点！