设正整数A＝2023k,(k为自然数）。当A的各个数位上的数都是9时，问：9的个数最少是...

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设正整数A＝2023k,(k为自然数）。当A的各个数位上的数都是9时，问：9的个数最少是多少个？

王守恩

9的个数最少是816个，2023的循环节=816。

1. Length[RealDigits[1/2023][[1, -1]]]

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myyour

王守恩 发表于 2023-7-24 11:43
9的个数最少是816个，2023的循环节=816。

谢谢王老师！
我用欧拉定理求出9的个数是1632个，但不确定是不是最小，原来程序跑出816个是最小，正好是1632的一半。不知能不能用数论的知识解出来？

lihp2020

2023 =7 * 17 * 17
φ(2023) =φ(7)*φ(17 * 17) =(6)*(16*17)
单独分析
7   循环节是6
17  循环节是16

LCD(6,16*17) = 816

为啥可以这样求  

6个9 一定有个因式 7
16个9一定有个因子 17

6*K 个9  一定有个因式 7
16*J个9一定有个因子 17
6*8=48个9 一定有个因式 7
16*3 =48个9 一定有个因式 17
GCD(7,17)=1 48个9 一定因式 7 和17

时空伴随者

当模m是素数时，φ(m)就是最小的，否则最小的，必然是φ(m)的真因子。
2023-07-25 16:01:46
10^308=1 mod 2001 [3, 23, 29]
10^2002=1 mod 2003 [2003]
10^222=1 mod 2007 [3, 3, 223]
10^210=1 mod 2009 [7, 7, 41]
10^2010=1 mod 2011 [2011]
10^60=1 mod 2013 [3, 11, 61]
10^2016=1 mod 2017 [2017]
10^672=1 mod 2019 [3, 673]
10^966=1 mod 2021 [43, 47]
10^816=1 mod 2023 [7, 17, 17]
10^2026=1 mod 2027 [2027]
10^2028=1 mod 2029 [2029]
10^338=1 mod 2031 [3, 677]
10^954=1 mod 2033 [19, 107]
10^96=1 mod 2037 [3, 7, 97]
10^2038=1 mod 2039 [2039]
10^78=1 mod 2041 [13, 157]
10^678=1 mod 2043 [3, 3, 227]
10^44=1 mod 2047 [23, 89]
10^682=1 mod 2049 [3, 683]
10^438=1 mod 2051 [7, 293]
10^2052=1 mod 2053 [2053]
10^880=1 mod 2057 [11, 11, 17]
10^140=1 mod 2059 [29, 71]
10^228=1 mod 2061 [3, 3, 229]
10^2062=1 mod 2063 [2063]
10^78=1 mod 2067 [3, 13, 53]
10^2068=1 mod 2069 [2069]
10^108=1 mod 2071 [19, 109]
10^690=1 mod 2073 [3, 691]
10^330=1 mod 2077 [31, 67]
10^30=1 mod 2079 [3, 3, 3, 7, 11]
10^2080=1 mod 2081 [2081]
10^2082=1 mod 2083 [2083]
10^2086=1 mod 2087 [2087]
10^2088=1 mod 2089 [2089]
10^80=1 mod 2091 [3, 17, 41]
10^66=1 mod 2093 [7, 13, 23]
10^696=1 mod 2097 [3, 3, 233]
10^2098=1 mod 2099 [2099]
用时 0.00000 秒

lihp2020

φ(m)的真因子  但是 我们要知道是哪个 真因子 一个一个带入验证？

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2023-7-25 16:03
当模m是素数时，φ(m)就是最小的，否则最小的，必然是φ(m)的真因子。
2023-07-25 16:01:46
10^308=1 mod ...

补充：m是素数时，只是说明m有原根，还要验证10是不是m的原根，如果不是原根，φ(m)也不是最小的。
比如，10^342=1 mod 2053 [2053]，10^1040=1 mod 2081 [2081]等。

王守恩

设正整数A＝B*k,(k为自然数）。当A的各个数位上的数都是9时，问：9的个数最少是多少个？
1, 9的最少个数=B的循环节。
2, 找B的循环节好像还是一道难题(没有规律)。

lihp2020

没有规律  但是 给一个正常的数字 还是  很好计算的

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2023-7-26 09:10
补充：m是素数时，只是说明m有原根，还要验证10是不是m的原根，如果不是原根，φ(m)也不是最小的。
比如 ...

验证原根也不简单，直接搜索包含φ(m)所有素因子的因数即可。
比如：10^342=1 mod 2053 [2053]，搜索的次序是114、228、342。