点D,E,F在△ABC各边上且AD/DB=λ1，BE/EC=λ2，CF/FA=λ3。求面积比S△DEF/S△ABC

天山草

天山草

此题摘自《几何瑰宝》一书的上册，第 55 页。作者把此题的结论称为梅涅劳斯定理的拓广。

好像称为西瓦定理的拓广才对吧？

主楼的证明方法是复平面解析法。书中的证法是纯几何法。前者证法更为简明。

kanyikan

  1-{λ2/[(1+λ1)(1+λ2)]+λ3/[(1+λ2)(1+λ3)]+λ1/[(1+λ3)(1+λ1)]}
=(λ1λ2λ3+1)/[(1+λ1)(1+λ2)(1+λ3)]

天山草

接上题，求中间的小三角形与最大三角形面积之比。


类似地，若三角形ABC的面积为 1，可以求出图中任意一个三角形的面积。

若 λ1 λ2 λ3 = 1，则三角形 GKN 的面积为零，即 AE、BF、CD 交于一点。此时  λ3 =1/(λ1 λ2) =(DB/AD)(EC/BE) = CF/FA，
也就是 (BD/DA)(AF/FC)(CE/EB) = 1，这就是西瓦定理。

Future_maths

为什么总是用软件来计算？用手计算就行。

Future_maths

利用仿射变换与矢量计算就可以了。

Future_maths

对于本题，通过仿射变换，可将三角形ABC变成正三角形，而保持面积比不变，同时也保持同一直线上的线段比不变，这样可以简化计算。

Future_maths

不通过仿射变换也可以，直接用矢量计算。

Future_maths

对于第二问，要建立仿射坐标系。