y=f(x) 曲线上 P 点曲率等于 PQ 的倒数，Q 是过 P 点法线与 x 轴的交点，求 y=f(x)

虚心请教

在上半平面求一条向上凹的曲线， 其上任一点Pc，J)处 在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法 线与≈轴的交点)， 且曲线在(1，1)处的切线与c轴平行。请教一下我的解法错在哪里

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身边没有电脑只有这样发图片了不好意思

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Q是法线与x轴的交点

luyuanhong

虚心请教

luyuanhong 发表于 2023-8-16 09:54

谢谢陆老师，我已经知道了我的解法错误在哪点有问题了，我刚刚看您的解法学习时，好像有点问题，曲线上凹它二次函数应该大于零好像

luyuanhong

象 y=x^2 这样中间向下弯垂的曲线，称为“下凹”，二阶导数为正值。

象 y=-x^2 这样中间向上拱起的曲线，称为“上凹”，二阶导数为负值。

按照中文的习惯，中间向上拱起的“上凹”曲线，称为“上凸”更适当一些，

但是在外文中，不管是向下弯还是向上拱，他们都称为“凹”，只是用“上、下”来作区别。

本题中就是沿用了外文中的说法，把“上凸”说成了“上凹”，

所以本题中的二阶导数是负值。

luyuanhong

在已知曲线上凹（即上凸）的情况下，微分方程为 1+(y')^2=-yy'' ，y(1)=1，y'(1)=0 。

这时，可以解得 y=√(1-x^2) ，曲线是一个圆心为 (1,0)、半径为 1 的上半圆。

如果已知曲线不是上凹，而是下凹，微分方程为 1+(y')^2=yy'' ，y(1)=1，y'(1)=0 。

这时，又可以得到什么样的解？曲线又是什么样的曲线呢？请看下面的帖子：

luyuanhong

还要说明一点，在第 2 楼的帖子中，对微分方程  y y''=1+y'^2  的解法是不对的。

解答过程中有一步是  (y y''-y'^2)/y^2 = 1/y^2  => (y'/y)' = (-1/y)’  。

其中误以为有   (-1/y)' = 1/y^2 ，其实，(-1/y)' = y'/y^2 ≠ 1/y^2 。

所以，后面再做下去就都不对了。