勾股数组研究

蔡家雄

兔子数列中的勾股数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数：

第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d.

则 (ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
    = 1，1，2，3，5，8，13，21，......\)

f(2n), f(2n+2), f(2n+4) 和 4*f(2n+1)*f(2n+2)*f(2n+3),
在这四个数中，任意两个的乘积，再+1，是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2

蔡家雄

求解：毕氏方程
a^2+b^2 = c^4

(1)式 7^2+24^2=5^4
(2)式 119^2+120^2=13^4
(3)式 527^2+336^2=25^4
(4)式 1519^2+720^2=41^4
(5)式 3479^2+1320^2=61^4
(6)式 6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：
a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：(1)式   (2)式 是 a < b ，a为勾，b为股，
但  (3) (4) (5) (6)式 是 a > b ，b为勾，a为股，
即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。


罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。

蔡家雄

兔子数列中的勾股数

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......\)

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数：

\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d\),

则 \((ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
    = 1，1，2，3，5，8，13，21，......\)

\(f_{2n}, f_{2n+2}, f_{2n+4} 和 4*f_{2n+1}*f_{2n+2}*f_{2n+3}\),
在这四个数中，任意两个的乘积，再+1，是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2

蔡家雄

本原勾股数新公式

设 \(n\)为正整数，\(k\)为非负整数，

设 \(a= 2^{k+1}*(2^k+2n -1)\)
    \(b= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}\)
    \(c= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}+2^{2k+1}\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=0\) 时，有 \(a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1\).

当 \(k=1\) 时，有 \(a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4\).

当 \(k=10\) 时，且 \(n <724\) 时，\(a\) 是股，不是勾，
有 \(a=4096n+2097151 , b=4*n^2+4092n -2047 , c=4*n^2+4092n+2049\) ,


本原勾股数新公式

设 \((2k -1)\) 与 \((2n+1)\) 同奇且互素，

设 \(a= (2k -1)*(2n+1)\)
    \(b= 2*n^2+4kn -2n\)
    \(c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=1\) 时，有 \(a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1\).

设 \(A=b^2-a^2\), \(B=2ab\) ,

则 \((b^2-a^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2=C^4\) ,

例 \(a=7, b=24, c=25\), 则 \(A\)是股不是勾，\(B\)是勾不是股，

朱明君

求解：毕氏方程
a^2+b^2 = c^4

(1)式 7^2+24^2=5^4
(2)式 119^2+120^2=13^4
(3)式 527^2+336^2=25^4
(4)式 1519^2+720^2=41^4
(5)式 3479^2+1320^2=61^4
(6)式 6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：
a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：(1)式   (2)式 是 a < b ，a为勾，b为股，
但  (3) (4) (5) (6)式 是 a > b ，b为勾，a为股，
即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。


\(设n为正整数，\)
\((2n^2+2n-1)^2-2=a{,}\ \ \ 4n(n+1)(2n+1)=b{,}\ \ \ \ \ 2n^2+2n+1=c{,}\ \ \)
\(则a^2+\ b^2＝\ c^4{,}\)

\(7^2+24^2=5^4{,}\)
\(119^2+120^2=13^4,\)
\(527^2+336^2=25^4,\)

朱明君

，，，，，，，，

朱明君

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

朱明君

\(设L_n=\frac{\left( 1+\sqrt{2}\right)^n+\left( 1-\sqrt{2}\right)\ ^n}{2}=1{,}3{,}7{,}17{,}41{,}99{,}239.577{,}\cdots\cdots.\)
求证：\(L_n\times L_{n+1}\times L_{n+2}\times L_{n+3}+4=\ 完全平方数。\)
则1

\(L_n\times L_{n+1}\times L_{n+2}\times L_{n+3}+4=\left\{ L_n\times L_{n+1}+\left( L_{n+2}-L_{n+1}\right)^2\right\}^2\)