△ABC中,M为BC中点,AN为∠A所对的陪位中线,H1是△ABC的垂心,E,F是......,证明四个结论

天山草

在△ABC中，M 为 BC 中点，AN 为 BC 边上的陪位中线。H1 是△ABC 的垂心，E、F 是垂足。G = AM∩EF，
圆X=圆AEF、圆Y=圆BNE、圆Z=圆CNF。H2 是△XYZ 的垂心，O 是△XYZ 的外心。
证明：① GN \[UpTee] BC; ②AOM 三点共线;  ③ △XYZ∽△ABC; ④ H1H2 与圆X 相切;  ⑤ EH1C 三点共线。

程序图片：

注：进一步计算可知
     ① H1H2 线段是与 BC 平行的，而 XH1 则与 BC 垂直。
     ② E、H1、C 三点也是共线的。

下页是程序代码：

天山草

程序代码：

1. Clear["Global`*"]; (*设B在坐标原点，C在1点， kAB=u^2，kAC=1/v^2 *)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/( u^2 v^2 - 1);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);  \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = m = 1/2; i = (u (v - 1))/(
   
4. u v - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(i\), \(_\)]\) = (v - 1)/(u v - 1);
   
5. h1 = (u^2 + 1)/(1 - u^2 v^2);  \!\(\*OverscriptBox[\(h1\), \(_\)]\) = ((u^2 + 1) v^2)/(u^2 v^2 - 1);
   
6. Jx[p_, a_, b_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) (a - b))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*P点的镜像点，镜线是AB*)
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(Jx\), \(_\)]\)[p_, a_, b_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b + p (
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))/(a - b);
   
9. m1 = Simplify@Jx[m, a, i]; \!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jx\), \(_\)]\)[m, a, i];
   
10. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
    
11. W1 = {n, \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k[a, m1] == k[a, n], k[b, n] == k[b, c]}, {n, \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)}] // Flatten;n = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = Part[W1, 2];
    
12. Foot[p_, a_, b_] := p/2 + ( \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b - a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) (a - b))/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)));  (* 从P点向XY直线引垂线，垂足的复坐标 *)
    
13. \!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[p_, a_, b_] := \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)/2 + (a \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) b + p (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))/(2 (a - b));  
    
14. e = Simplify@Foot[c, a, b]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[c, a, b];
    
15. f = Simplify@Foot[b, a, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[b, a, c];
    
16. W2 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k[e, f] == k[e, g], k[a, m] == k[a, g]}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;g = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
    
17. WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a) )/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) +
    
18. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));(*三角形 ABC 的外心坐标：*)   
    
19. \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := -((a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a)));
    
20. x = Simplify@WX[a, e, f]; \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a, e, f];
    
21. y = Simplify@WX[b, n, e]; \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[b, n, e];
    
22. z = Simplify@WX[c, n, f]; \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[c, n, f];
    
23. o = Simplify@WX[x, y, z]; \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[x, y, z];
    
24. hh [a_, b_, c_] := ((b - c) (b + c - a) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (c - a) (c + a - b) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + (a - b) (a + b - c) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/((b - c) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (c - a) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + (a - b) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\));  (*由三顶点求垂心*)
    
25. \!\(\*OverscriptBox[\(hh\), \(_\)]\) [a_, b_, c_] := ((\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) a + (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) b + (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) c)/((\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
26. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) a + (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) b + (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) c);   
    
27. h2 = Simplify@hh[x, y, z]; \!\(\*OverscriptBox[\(h2\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(hh\), \(_\)]\)[x, y, z];
    
28. Print["GN 是否垂直于 BC：", Simplify[k[g, n] == -k[b, c]]];
    
29. Print["AOM 是否三点共线：", Simplify[k[a, o] == k[o, m]]];
    
30. Print["\[EmptyUpTriangle]XYZ 是否与 \[EmptyUpTriangle]ABC 相似：", Simplify[k[x, z]/k[x, y] == k[a, c]/k[a, b]] &&
    
31.    Simplify[k[y, x]/k[y, z] == k[b, a]/k[b, c]]];
    
32. Print["H1H2 是否为圆X 的切线：", Simplify[(x - h1) (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(h1\), \(_\)]\)) == (x - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\))] && Simplify[k[x, h1] == -k[h1, h2]]];

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天山草

此题选自【纯几何吧】。这种题目很适合用复平面解析几何方法解答。我感觉搞清楚了此题借助 mathematica 计算软件的编程方法，就可以说对复平面解析几何掌握了70%。

denglongshan

建议把中间点显示出来。
       由于初等几何中线性构造命题占多数，复数对于角度的优势明显 ，如果构图不是很复杂，手工计算不难，建议参加竞赛的同学可以试用，不过需要先说明复斜率等定义和一些引理。

denglongshan

Future_maths

都是用电脑计算，不能算是真正的本事！