求一个函数单调性的推导（好难...）

Math_wander

如图，想要分析一下函数f(x)的单调性。
试着用程序模拟了一下不同p和x取值时函数的解，绘制出来的函数图像有两种：p/q大于1时，先递减后递增；否则是持续递增。
但是想要一个正式的推导证明，目前还没有搞出来，大致是缩放法？
有思路了会在帖子里分享，但是还是求助一下论坛里的大神们，能漂亮地证出来就太好了！