雪球半径以每分钟 0.2 厘米的速度变小，求当半径是 4 厘米的时候，雪球表面积的变化率

tulipmary

求问一个微积分问题

一个雪球在融化，它的半径以每分钟 0.2 厘米的速度变小。问当半径是 4 厘米的时候，雪球的表面积的变化率是多少？

天山草

按 1# 楼的条件，雪球表面积的变化率是时间的函数：



例如，当 t=0 时，表面积变化率是 -5.02655×4=-20.1062

luyuanhong

题  雪球半径以每分钟 0.2 厘米的速度变小，求当半径是 4 厘米的时候，雪球表面积的变化率。

解  设在 t = 0 时，雪球的半径为 R0 ，由已知条件可知，在时刻 t 时，雪球的半径为

             R = R0 - 0.2 t 。

    在时刻 t 时，雪球的表面积为

          S = 4π R^2 = 4π (R0 - 0.2 t)^2 。

   在时刻 t 时，雪球表面积的变化率为

        dS/dt = 4π × 2 × (R0 - 0.2 t) × (-0.2) = -1.6π (R0 - 0.2 t) 。

   上式中的 R0 - 0.2 t 就是时刻 t 时的雪球半径 R ，所以雪球表面积的变化率也可表示为

     dS/dt = -1.6π (R0 - 0.2 t) = -1.6π R 。

   所以，当雪球半径 R = 4 时，雪球表面积的变化率为

         dS/dt = -1.6π × 4 = -6.4π ≈ -20.10619 。

tulipmary

非常感谢！
我想问下，为什么如果这样算
S (t) = 4π [r(t)]^2
所以表面积的变化率是
S’(t) = (2)4π [r(t)]
当r(t) =4时
S’(t) = (2)4π(4)=100.48这样算是不对的呢？

luyuanhong

S'(t) = [ 4π r(t)^2 ]' = 4π × 2 × r(t) × r'(t) 。

你的做法，漏掉了 r'(t) ，所以不对。

tulipmary

----------------------嗷，明白啦！