3x^2+y^2-3xy=z^2+w^2+√3zw=3+2√2，y^2+z^2-yz=w^2+3x^2+√3wx=9+6√2，求 √3xz+yw

wintex

請問數學

天山草

见：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

luyuanhong

下面是网友 creasson 在《数学中国》论坛上对此题的解答：

wintex

luyuanhong 发表于 2023-10-8 10:50
下面是网友 creasson 在《数学中国》论坛上对此题的解答：

請問老師這樣四邊形存在嗎

luyuanhong

波斯猫猫

题：x^2+y^2-√3xy=z^2+w^2+√3zw=1，y^2+z^2-yz=w^2+x^2+wx=3，求 xz+yw（仅为方便书写）。

原题：3x^2+y^2-3xy=z^2+w^2+√3zw=3+2√2，y^2+z^2-yz=w^2+3x^2+√3wx=9+6√2，求 √3xz+yw。

思路（模糊处理）：把四个关系式局部配方得，

(x-√3y/2)^2+y^2/4=1→x-√3y/2=sinθ，y/2=cosθ.

(y-z/2)^2+3z^2/4=3→y-z/2=√3sinα，√3z/2=√3cosα.

(z+√3w/2)^2+w^2/4=1→z+√3w/2=sinβ，w/2=cosβ.

(w+x/2)^2+3x^2/4=3→w+x/2=√3sinγ，√3x/2=√3cosγ.

由此有，xz+yw=4cosαcosγ+4cosθcosβ=(sinθ+√3cosθ)(sinβ-√3cosβ)+4cosθcosβ=2cos(θ-β+π/3)

=2[cos(θ+π/3)cosβ+sin(θ+π/3)sinβ]=2[±cosβsinγ+sinβcosγ]=2sin(β±γ).

由2cosβ=√3sinγ-cosγ得，β+γ=2kπ+2π/3,β-γ=kπ+π/3(k∈Z)，即sin(β±γ)=±√3/2。故xz+yw=±√3。

注：原题答案为±√3（3+2√2）。

luyuanhong

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zinea

想請問老師  我觀察到  第一式*3=第二式   然後可以分解出(3x+2y-z)(3x+y+z)=0；另外兩個式子也是有可以分解的(3^1/2*z+2w+3^1/2x)(3^1/2*z+w-3^1/2x)=0
這樣思路下後面該如何繼續下去