3x^2+y^2-3xy=z^2+w^2+√3zw=3+2√2，y^2+z^2-yz=w^2+3x^2+√3wx=9+6√2，求 √3xz+yw

波斯猫猫

题：x^2+y^2-√3xy=z^2+w^2+√3zw=1，y^2+z^2-yz=w^2+x^2+wx=3，求 xz+yw（仅为方便书写）。

原题：3x^2+y^2-3xy=z^2+w^2+√3zw=3+2√2，y^2+z^2-yz=w^2+3x^2+√3wx=9+6√2，求 √3xz+yw。

思路（模糊处理）：把四个关系式局部配方得，

(x-√3y/2)^2+y^2/4=1→x-√3y/2=sinθ，y/2=cosθ.

(y-z/2)^2+3z^2/4=3→y-z/2=√3sinα，√3z/2=√3cosα.

(z+√3w/2)^2+w^2/4=1→z+√3w/2=sinβ，w/2=cosβ.

(w+x/2)^2+3x^2/4=3→w+x/2=√3sinγ，√3x/2=√3cosγ.

由此有，xz+yw=4cosαcosγ+4cosθcosβ=(sinθ+√3cosθ)(sinβ-√3cosβ)+4cosθcosβ=2cos(θ-β+π/3)

=2[cos(θ+π/3)cosβ+sin(θ+π/3)sinβ]=2[±cosβsinγ+sinβcosγ]=2sin(β±γ).

由2cosβ=√3sinγ-cosγ得，β+γ=2kπ+2π/3,β-γ=kπ+π/3(k∈Z)，即sin(β±γ)=±√3/2。故xz+yw=±√3。

注：原题答案为±√3（3+2√2）。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

cgl_74

点评下解法：
1、4楼cresson的解法是完备的；代数方程归于代数解法，用参数变换，适当减少了解方程组的难度。总体来说，这题就比较繁琐，不知道是否有更简洁的做法。
2、10楼陆老师的解法，用几何方法来解代数，看似巧妙，但是存在逻辑漏洞，有凑答案的嫌疑。因为即使变量都是正数，图形变量是符合代数方程组的解。但是需要证明，所有符合方程组的正数解，都能构成那个指定的图形，这个证明需要做，不是显然不证自明的。