在所有由 1234567 组成的没有重复数字的七位数中，有几个能被 7 整除？

lihp2020

n 不是 3 的倍数（且 n <= 9)   其实除了 7  其他元素 都不用这个方法  都能算出来
所以 我想了个13 用11~23 13个数来组成  但是 没有验证

luyuanhong

天山草

先看一个错误的证明：

由 1，2，3，4，5，6，7 这七个数码组成的没有重复数字的所有七位数共有 7！=5040 个。这 5040 个数除以 7 的余数共有 7 种，即余 1，2，3，4，5，6，0，因为每个数码都是对等的，所以不同余数的个数应该是相同的。故余数为 1 的个数是 5040/7=720 个，余数为 2 的个数也是 720 个，.......，余数为 0 的个数也是 720 个。

以上这个“证明”是有问题的。因为把除数由 7 换成 8，能被 8 整除的只有 528 个七位数，而不是 720 个。
如果把 7 换成 6，能被 6 整除的一个也没有。

另外，如果把 1，2，3，4，5，6，7 换成 1，2，3，4，5，6，7，8，能被 8 整除的所有八位数是 8！/8=5040 个，上面那个证明也能碰对。但是对于 1，2，3，4，5，6，7，8，9，能能被 9 整除的所有九位数并不是 9！/9=40320 个，而是 9！个，即任何一个没有重复数码的九位数都能被 9 整除。

再看 1，2，3，4，5，6 这六个数码，能被 6 整除的所有六位数是 6！/6=120 个吗？ 不是，而是 360 个。
对于 1，2，3，4，5，能被 5 整除的所有五位数是 5！/5=24 个吗？ 确实是，这回碰对了。
对于 1，2，3，4，能被 4 整除的所有四位数是 4！/4=6 个，也正确。
对于 1，2，3，能被 3 整除的所有三位数是 3！/3=2 个，错，应该是 6 个。

天山草

下面四个命题，如何证明？

① 11,12,13,14,15,16,17,18,19 全排列除以19，有 10314 个能被整除。
② 11,12,13,14,15,16,17,18,19 全排列除以17，有 21354 个能被整除。
③ 11,12,13,14,15,16,17,18,19 全排列除以13，有 25920 个能被整除。
④ 11,12,13,14,15,16,17,18,19 全排列除以11，有 0 个能被整除。

lihp2020

#4楼的解答是错的，张口就来，民科的代表。
??? 请问那点错误？？

uk702

将 #4 的解答改写如下，是个好证法，赞！

时空伴随者

大道至简，一法足矣！
古代模7，采用过7除去法，和0无关！用字母g表示。
先看数字1，在个、十、百、千、万、十万、百万位上模7的结果分别是：1,3,2,6,4,5,1。（低1位乘3模7）
对任意一个1~7，数字不重复的数N有，N+1111111 g 7=(N g 7 + 1111111 g 7) g 7=(N g 7 + 1) g 7
上式说明，原先模7余1的数N1对应到了模7余2的数N2对应到了，N1→N2，以此类推N2→N3→N4→N5→N6→N7→N1。
结论是，7类数Nk（K=1,2,3,4,5,6,7）个数相等，能整除7的个数占七分之一。
题外话：
显然这些不重复7位数，按最高位的数字也可分成一一对应的7类，注意是对应，不是衍生；
对12345不重复5位数，本法同样适用，不是什么“碰巧”；
而对123不重复的3位数来说，+111 g 3不改变余数，没有相关的对应，无处识别。