说说今年的一道高考数学题

刘付来

题目：已知函数\(f\left( x\right)\)的定义域为\(\ R\),\(f\left( xy\right)=y^2f\left( x\right)+x^2f\left( y\right)\),则：
\(\ A：f\left( 0\right)=0；B：f\left( 1\right)=0；C；f\left( x\right)\)是偶函数；\(D：x=0\)为\(f\left( x\right)\)的
极小值点。
答案是：\(A、B、C\)。注：2023年普通高等学校招生全国统一考试数学第11小题。
1：\(f\left( x\right)\ \ \ 与f\left( xy\right)\)的关系无外乎两种，一种是\(f\left( xy\right)\ \ 与f\left( x\right)\)是复合函数关系，即：
当\(x=g\left( xy\right)=xy\)时，\(f\left( x\right)\Leftrightarrow f\left[ g\left( xy\right)\right]=f\left( xy\right)\)，另一种是\(f\left( xy\right)是\(\ \ f\left( x\right)\)中的自变量\(\ x=xy\)
时的函数值
两种情况都有等式\(x=xy\)，这个等式两边的\(x\)在一般情况下所表示的数量是不相同的，在同一等式中不同的数量用同一字
母表示，有悖代数常识。
2：设\(f\left( xy\right)\)中的\(x=0\)时，代入所给等式得：
\(f\left( 0\right)=y^2f\left( 0\right)\)则：
\(\left( y^2-1\right)f\left( 0\right)=0\)，
当\(\left( y^2-1\right)\ne0\)时\(f\left( 0\right)=0\)
当\(y^2-1=0，y=\pm1\)时，\(f\left( 0\right)\)可为任意值。
这就是说\(f\left( 0\right)\)不一定等与零，只有\(x=0，y=0\)时才能确定\(f\left( 0\right)=0\).
3：将\(f\left( xy\right)\ \ \ \ \ 中\ \ 的x=1\)代入所给等式得：
\(y^2f\left( 1\right)=0\)，
当\(y^2\ne0\)时，\(f\left( 1\right)=0\)，
当\(y^2=0\)时\(f\left( 1\right)\)可为任意值，
这就是说\(f\left( 1\right)\)不一定等与零，只有\(x=1，y=1\)时才能确定\(f\left( 1\right)=0\).
4：将\(-x\)代替所给等式中的\(x\)得：
\(f\left( -xy\right)=y^2f\left( -x\right)+x^2f\left( y\right)\)
已知\(f\left( xy\right)=y^2f\left( x\right)+x^2f\left( y\right)\)，
要证\(f\left( -xy\right)=f\left( xy\right)\)，需要证明\(f\left( -x\right)=f\left( x\right)\)，又回到了问题的原点，这就是说
\(\ f\left( x\right)\)是偶函数的理由不足，只有以\(-x\)代替\(x\)同时以\(-y\)代替\(y\)才能证明\(f\left( x\right)\)是偶函数。
举例：（1）；设\(f\left( u\right)=\left( u^2\right)^{\ \iota}，\left( \ f\left( u\right)=u^2\ \ 的\ \ \ 导\ \ \ \ \ \ \ \ \ 数\right)\)
当\(u=g\left( xy\right)=xy\)时
\(f\left( u\right)\Leftrightarrow f\left[ g\left( xy\right)\right]=f\left( xy\right)\)，
\(f\left( xy\right)=\left[ \left( xy\right)^2\right]^{\iota}=\left( \left( xy\right)^2\right)^{\iota}\left( xy\right)^{\iota}=2xy\left( y+x\right)=2xy^2+2yx^2=y^2\left( x^2\right)^{\iota}+x^2\left( y^2\right)^{\iota}=y^2f\left( x\right)+x^2f\left( y\right)。\)
也可以用积的求导公式；\(f\left( xy\right)=\left[ \left( xy\right)^2\right]^{\iota}=\left[ x^2y^2\right]^{\iota}=y^2\left( x^2\right)^{\iota}+x^2\left( y^2\right)^{\iota}=y^2f\left( x\right)+x^2f\left( \right)\)。
（2）设\(f\left( x\right)=x^2\lg x，x\in R^+\)
当\(x=a\cdot\)时
\(f\left( ab\right)=\left( ab\right)^2\lg\left( ab\right)=a^2b^2\left( \lg a+\lg b\right)=b^2a^2\lg a+a^2b^2\lg b=b^2f\left( a\right)+a^2f\left( \right)\)
我举不出完全符合题意的例子。

天山草

支持一下楼主。据楼主的分析，原题出的好像有些毛病。如果真的有毛病，那就太不应该了，因为全国统一高考啊，是咋审查通过的？

tmduser

题目应该是没有问题的，就按函数的定义来做就可以了。
证明f(x)是偶函数可以令y=x，得到\(f\left( x\right)=\frac{f\left( x^2\right)}{2x^2}\).
你给的例子需适当改一下：
\(f\left( x\right)=k\ x^2\ln\left( \left| x\right|\right){,}\ \ \ k\in R\)
须额外定义f(0)=0。

刘付来

令\(\ \)\(\)\(\ y=x\)时可以证\(f\left( x\right)是偶函数，当\(y\ne x\)时哪。且，\(f\left( x\right)=\frac{f\left( x^2\right)}{2x^2}\)
的定义域与原题中的\(f\left( x\right)\)的定义域不相同，事实上，其中的\(f\left( x^2\right)\)是与原题中的\(f\left( x\right)\)相同，
只所以把\(y=x\)时锝到的函数\(f\left( x\right)\)与原题中的\(f\left( x\right)\)混为一谈，是我在贴中所提出的第一个问题所致，如果
把原题中的\(f\left( x\right)\)改写成\(f\left( u\right)\)或\(f\left( z\right)\)，则问题就一目了然。

\(f\left( x\right)=kx^2\lg\mid x\mid，k\in R\)，
须额外定义\(f\left( 0\right)=0\)，这与原题有出入。

simpley

怎么证明D是错的

刘付来

谢谢您对本帖的关注，我在帖中只关注了三个正确选项，没想到错误选项的证明也困难。老\(han\)我才疏学浅，
对此的证明实在是无能为力。

同时对大仙的支持表示感谢。