ΔABC 面积 870，以三条高垂足为顶点的三角形面积 48，求 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2

dodonaomikiki · 发表于 2023-10-17 14:28

【女子数学竞赛】\( sin^2A+sin^2B+sin^2C \) 的值

请看题目

天山草 · 发表于 2023-10-18 18:54

本帖最后由天山草于 2023-10-18 19:27 编辑

先来个笨笨的暴力计算，求出结果为 \(\frac{298}{145}\)。

首先要知道，符合要求的锐角三角形的形状不是唯一的，可以有无穷多种。所以可以令角 B 为 60度。另外两个角度可以根据已知的面积数据计算出来，∠CAB≈33.8072度，∠BCA≈86.1928度。

天山草 · 发表于 2023-10-18 19:06

creasson · 发表于 2023-10-18 21:24

一般的，垂足三角形的面积为
\[S = {S_{ABC}}({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - 2)\]

luyuanhong · 发表于 2023-10-19 08:36

luyuanhong · 发表于 2023-10-19 08:36

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ΔABC 面积 870，以三条高垂足为顶点的三角形面积 48，求 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2

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