AB是圆O直径,T∈圆O,T,A,C,D∈圆E,CD⊥AB,P=AC∩圆O,圆G=圆DTP,圆Q=圆DCP,证DTPA共圆

天山草

AB 是圆O 的一条直径，T ∈ 圆O，T, A, C,  D ∈ 圆E，CD ⊥ AB，P = AC ∩ 圆O，
圆G = 圆DTP，圆Q = 圆DCP，证明：DTPQ 共圆，且 Q 为定点。

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程序代码：

1. Clear["Global`*"];\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -1; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) =  b = 1;
   
2. kOT = u^2;  kAE = v^2; kAP = w^2;
   
3. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
4. W1 = {t, \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - t) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)) == 1, k[o, t] == kOT}, {t, \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
5. t = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\) = Part[W1, 2];
   
6. mAT = (a + t)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(mAT\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(t\), \(_\)]\))/2;(*AT的中点*)
   
7. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
   
8. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
9. e = Simplify@Jd[-k[a, t], mAT, kAE, a]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[a, t], mAT, kAE, a];
   
10. W2 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - p) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == 1, k[a, p] == kAP}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
11. p = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
    
12. W3 = {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(e - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (e - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), k[a, p] == k[a, c]}, {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
13. c = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
    
14. W4 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(e - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (e - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)), k[c, d] == -1}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
15. d = Part[W4, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W4, 2];
    
16. WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a) )/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));(*三角形 ABC 的外心坐标：*)   \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - a))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (c - b) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (a - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (b - a));
    
17. g = Simplify@WX[d, t, p]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[d, t, p];
    
18. q = Simplify@WX[d, c, p]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[d, c, p];
    
19. Print["复斜率 kDT 与复斜率 kPQ 之积 = ", Simplify[k[d, t] k[p, q]]];
    
20. Print["复斜率 kPT 与复斜率 kQD 之积 = ", Simplify[k[p, t] k[q, d]]];
    
21. Print["由于 kDT \[Times] kPQ = kPT \[Times] kQD，所以 DTPQ 共圆。"];
    
22. Print["Q 点的坐标为 q = ", q];
    
23. Print["由于 Q 点的坐标表达式中没有参数 w，因此 Q 点的位置与 P 点的位置无关，即 Q 是一个定点。"];

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程序运行结果：

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注， 上面程序中判定复平面上四点共圆的条件是：两对边的复斜率之积相等。
或者，如果四边形任一对边的复斜率之积与对角线的复斜率之积相等，则该四边形各顶点共圆。
当然，上面只是复平面上判定四点共圆的一种方法，还有不用复斜率表达的其他方法。例如，若 \(\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}\) 为一个实数则 ABCD 四点共圆。

denglongshan

假设O在原点，\((\overline{o}=o=0{,}\overline{a}=a=-1{,}\overline{t}=\frac{1}{t}{,}\bar{v}=\frac{1}{v}=e^{iO_2}{,}\)