三内角满足(cosA)^2+…=15/8，(cosB)^2+…=14/9，求 (cosC)^2+(cosA)^2+2sinCsinAcosB

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天山草

此题是一个三角函数变换的题。在实际工作中，如果公司老板需要你立即给出解答，而你又一时半会的做不出来，急得一头汗水，这时可以试试下面这个方法。



题目要求是锐角三角形，这不对，应该是钝角三角形，共有两种钝角三角形（图 1 和图 2，它们既不全等，也不相似），它们都能满足题给条件，但是这两种三角形对于所求值的答案是不同的。
对于图 1，所求之值为 \(\frac{111+4\sqrt{35}}{72}\);  对于图 2，所求之值为 \(\frac{111-4\sqrt{35}}{72}\)。

下面对于图 1 编程如下。（对于图 2 编程，只须在下面程序的第 19 行将 u = FullSimplify@Part[W, 5]; v = Simplify@Part[W, 6]; 中的 5 改为 1，6 改为 2 即可）。

1. Clear["Global`*"];(*令B为坐标原点，C为1点，kAB=u^2，kAC=v^2*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; kAB = u^2; kAC = v^2;
   
3. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
4. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
   
5. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
6. a = Simplify@Jd[kAB, b, kAC, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[kAB, b, kAC, c];
   
7. a = -((u^2 (v^2 - 1))/(u^2 - v^2)); \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(v^2 - u^2); Print["a = ", a];
   
8. d = Simplify@Jd[1, b, -1, a]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[1, b, -1, a];
   
9. e = Simplify@Jd[-k[a, c], b, k[a, c], c]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[a, c], b, k[a, c], c];
   
10. BD = d; AD2 = Simplify[(a - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\))]; AD = ((u^2 - 1) (v^2 - 1))/(
    
11.   2 (u^2 - v^2)) I; Print["AD = ", AD];
    
12. AC2 = Simplify[(a - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))]; AC = ((1 - u^2) v)/( u^2 - v^2); Print["AC = ", AC];AB2 = Simplify[(a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))]; AB = (u (v^2 - 1))/( u^2 - v^2); Print["AB = ", AB];
    
13. AE2 = Simplify[(a - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))]; AE = -(((v^2 - 1) (u^2 +  v^2))/(2 v (v^2 - u^2))); Print["AE = ", AE];
    
14. BE2 = Simplify[(b - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))]; BE = -((v^2 - 1)/(2 v)) I; Print["BE = ", BE];
    
15. BC = 1;CE2 = Simplify[(c - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))]; CE = -((v^2 + 1)/( 2 v)); Print["CE = ", CE];
    
16. cosC = CE/BC; sinC = BE/BC; cosB = BD/AB; sinB = AD/AB; cosA = -(AE/AB); sinA = BE/AB;
    
17. Print["cosA = ", cosA, "， sinA = ", sinA, "， \!\(\*SuperscriptBox[\(cos\), \(2\)]\)A + \!\(\*SuperscriptBox[\(sin\), \(2\)]\)A= ", Simplify[cosA^2 + sinA^2]];
    
18. Print["cosB = ", cosB, "， sinB = ", sinB,  "， \!\(\*SuperscriptBox[\(cos\), \(2\)]\)B + \!\(\*SuperscriptBox[\(sin\), \(2\)]\)B= ", Simplify[cosB^2 + sinB^2]];Print["cosC = ", cosC, "， sinC = ", sinC, "， \!\(\*SuperscriptBox[\(cos\), \(2\)]\)C + \!\(\*SuperscriptBox[\(sin\), \(2\)]\)C= ", Simplify[cosC^2 + sinC^2]];
    
19. W = {u, v} /. Simplify@Solve[{cosA^2 + cosB^2 + 2 sinA sinB cosC == 15/8, cosB^2 + cosC^2 + 2 sinB sinC cosA == 14/9}, {u, v}] //  Flatten; u = FullSimplify@Part[W, 5]; v = Simplify@Part[W, 6];
    
20. Print["u = ", u, " = ", N[u]]; Print["v = ", v, " = ", N[v]];
    
21. Print["\!\(\*SuperscriptBox[\(cosA\), \(2\)]\)+\!\(\*SuperscriptBox[\(cosB\), \(2\)]\)+2sinAsinBcosC = ", Simplify[cosA^2 + cosB^2 + 2 sinA sinB cosC]];
    
22. Print["\!\(\*SuperscriptBox[\(cosB\), \(2\)]\)+\!\(\*SuperscriptBox[\(cosC\), \(2\)]\)+2sinBsinCcosA = ", Simplify[cosB^2 + cosC^2 + 2 sinB sinC cosA]];
    
23. y = FullSimplify[cosC^2 + cosA^2 + 2 sinC sinA cosB];
    
24. Print["\!\(\*SuperscriptBox[\(cosC\), \(2\)]\)+\!\(\*SuperscriptBox[\(cosA\), \(2\)]\)+2sinCsinAcosB = ", y, " \[TildeTilde] ", N[y]];

复制代码

程序运行结果：



根据算出的复斜率\(u、v\) 的值，将其代入三个角的正余弦表达式中，还可算出各个角的正弦值和余弦值。

对于图 2 的钝角三角形，将上述程序的第 19 行中 u = FullSimplify@Part[W, 5]; v = Simplify@Part[W, 6]; 的 5 改为 1，6 改为 2，运行结果为 （只列出最后几句结果，前面的均与上面程序运行结果相同）：




说明： 程序中的解方程语句是为了求出 \(u\) 和  \(v\) 的值，共有 5 组解，但是由此确定的三角形的形状并没有 5 种，而只有两种。

luyuanhong

楼上天山草说得对，此题中的三角形不是锐角三角形。

luyuanhong

第 2 楼中把 B,C 作为锐角，A 作为钝角，第 3 楼中是把 A,C 作为锐角，把 B 作为钝角，所以结果不一样。

下面是此题完整的解答。

luyuanhong