阴影面积=总面积【涵盖三角形A7A8M】的一半

dodonaomikiki

来自35届人曹选拔

天山草

下图中 A1A2……A13是正13边形。其面积为S13，下面黑色三角形面积为 S，
证明三个阴影面积 S123 等于 (S13 + S)/2。


证明方法：设正13边形的外接圆为单位圆，圆心O 位于坐标原点。A1 点在北极点。令 \(θ=∠A1OA13=2\pi/13\)，可求出所有点的复坐标。利用复平面解析几何中的四边形面积公式和三角形面积公式，可求得各面积值。

天山草

上面给出的面积都是以复数方式表示的，其实它们都是确定的正实数。程序中最后几句换成具体数字表达的话，程序及运行结果如下：

天山草

用纯几何方法做此题肯定可以，但是书写篇幅有可能会很长，证明过程有可能比较麻烦，也比较费脑子。
而复平面解析几何方法的最大优点就是不费脑子、按步就班地套公式就行了。