当 log8(n) 为有理数时，f(n)=log8(n) ，其他情况下 f(n)=0 ，求 ∑(n=1,2022)f(n)

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当 log8(n) 为有理数时，f(n)=log8(n) ，其他情况下 f(n)=0 ，求 ∑(n=1,2022)f(n)

luyuanhong

题  当 log8(n) 为有理数时，f(n) = log8(n) ，其他情况下 f(n) = 0 ，求 ∑(n=1,2022)f(n) 。

解  因为 8=2^3 ，所以只有当 n = 2^k（k∈Z）时，

         f(n) = log8(n) = ln(n)/ln(8) = ln(2^k)/ln(2^3) = (kln2)/(3ln2) = k/3 ，

    f(n) 才可能是有理数，其他 f(n) 都是 0 。

    又因为小于等于 2022 的形式为 n = 2^k（k∈Z）的正整数，只有下列 11 个：

    1 = 2^0 ，2 = 2^1 ，4 = 2^2 ，8 = 2^3 ，……，512 = 2^9 ，1024 = 2^10 。

    所以对 n = 1,2,3,…,2022 求和，相当于对 k = 0,1,2,3，…,10 求和。

    因此有

         ∑(n=1,2022)f(n) = ∑(k=0,10)log8(2^k) = ∑(k=0,10)k/3

        = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)/3 = 55/3 。