从椭圆外 S 作椭圆切线 SM,SN 割线 SAB，过 M 作 NS 平行线交 NA,NB 于 E,F，证 ME=MF

天山草 · 发表于 2023-10-30 08:43

S 是椭圆 \(\frac{ x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 外一点，从 S 向椭圆引两条切线 SM、SN，M、N 是切点。从 S 向椭圆引一条割线 SAB，连接 NA、NB，从 M 作 NS 的平行线交 NA 于 E，交 NB 于 F。证明 ME = MF。

天山草 · 发表于 2023-10-30 09:47

本帖最后由天山草于 2023-10-30 10:01 编辑

如果此题中把椭圆换成圆，是很容易证明的。那能否从仿射变换的观点看，将圆改为椭圆以后结论也必然成立呢？据说经过仿射变换以后，线段长度之间的比例关系保持不变？那两条切线的长度对于圆而言是相等的，但是对于椭圆是不相等的，这如何理解？

天山草 · 发表于 2023-10-30 10:00

把椭圆改为圆的解答：

天山草 · 发表于 2023-10-30 10:02

对于椭圆的情况，如何解答？

luyuanhong · 发表于 2023-10-30 10:29

对图形作仿射变换，在同一直线上线段长度的比例保持不变。

在本题中，ME,MF 是在同一直线上的两条线段，所以 ME=MF 的关系在仿射变换前后保持不变。

切线 SM,SN 不在同一直线上，所以 SM=SN 的关系在仿射变换前后会改变。

天山草 · 发表于 2023-10-30 20:19

明白了，原来如此。谢谢陆教授！

denglongshan · 发表于 2024-1-1 20:14

改一下顺序，从 S 向椭圆引两条切线 SM、SN，M、N 是切点，改成，过这两点作切线交于S，从 S 向椭圆引一条割线 SAB，改成任选一点A，连SA交椭圆于B，可能会容易一些，问题是如何求另外一点B？或许不用求显示解

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