通过双曲线 xy=2 外一点 P 到双曲线的切线只有一条，记切点为 Q，求 PQ 长度的最小值

111eng666

在xy平面上，假设点P不在双曲线上，且通过点P与双曲线xy=2相切的直线只有一条，其中切点记为Q。试求线段PQ的长度之最小值。

Ysu2008

因为，双曲线外，只能引一条切线的点必在双曲线的渐近线上。
所以，本题中\(P\)点必在坐标轴上。

设切点\(Q\)坐标为\(\left( x_0{,}y_0\right)\);

根据一般二次曲线的切线公式，双曲线 \(xy=2\)在\(Q\)点的切线方程为
\(y_0x+x_0y-4=0\)

令\(P\)点在X轴上，坐标为
\(\begin{cases}
x_0y+y_0x-4=0\\
y=0
\end{cases}\Rightarrow P\left( \frac{4}{y_0}{,}0\right)\)

\(\therefore\left| PQ\right|=\sqrt{\left( x_0-\frac{4}{y_0}\right)^2+\left( y_0-0\right)^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{4}{x_0^2}}\ge2\)

在\(x_0^2=\frac{4}{x_0^2}\Rightarrow x_0=\pm\sqrt{2}\)，切点\(Q\)在\(\left( \pm\sqrt{2}{,}\pm\sqrt{2}\right)\)时，\(\left| PQ\right|\)取得最小值 2；

根据对称性，若\(P\)点在Y轴上，结果相同.

111eng666

謝謝 Ysu2008  解惑！

luyuanhong

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