【资料，待分析】XYZ三点共线，1847年法兰西全国数学竞赛题目

dodonaomikiki

\begin{align*}
非等腰三角形ABC中\\
D&=BC中点，   E=CA  中点， F=AB中点\\
经过D\\
一条切线切于三角形&ABC地内切圆\\
并且交直线&EF于点X\\
同样，当然可以做出&点Y以及点Z\\
那么请证明：&XYZ三点共线\\

\end{align*}

dodonaomikiki

这个题目，还是让人意想不到！
200年以前的人类，就很静很厉害啦~~~

dodonaomikiki

估计Caron是一个人，但也可能，是一个数学组织！



\begin{align*}
CARON-1\\
X,Y,Z关于内切圆的&极线共点\\
点X关于园J地&极线，\\
经过【DX与园地&切点】\\
And     \qquad        Cauz  X在EF上面\\
\Longrightarrow     & 同时经过【EF关于园的极点】\\
凭借D1,E1,F1来记作&BC\cap 园J,   CA   \cap  园J,   AB  \cap  园J\\
凭借X1,Y1,Z1来记作&BC\cap 园J,   CA     \cap   园J,   AB  \cap  园J\\
\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
CARON-2\\
Cauz     \qquad   
D乃是X1D1关于园地极点\\
E又是Y1E1关于园地极点\\
\Longrightarrow \\
DE乃是关于圆的极点\\
也就是说&=X1D1与Y1E1之交点，记作W\\



这样一来，Z点就是关于圆的极线，\\
也就是说=经过点W以及点【Z1&=FZ  \cap园J 】的直线\\
同样的，我们可以得到X,Y关于圆的极线，\\
分别记作UX1以及VY1\\
接下来，我们可以来证明这两个直线与WZ1共点\\


\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
CARON-3\\
我们可以发现\\
过任意一点做一垂线 & \perp  于
【该店关于圆的极线】\\
\Longrightarrow     &那么这条垂涎经过圆心J\\
\Longrightarrow    &点U \perp   EF地线经过点J\\
并且呢，& \perp   BC（ \diagup\diagup   EF）\\
\Longrightarrow     &经过点D\\
\Longrightarrow     &Ceva   \qquad  Theo.  可知：\\\frac{VD1}{D1W}    \bullet   \frac{WE1}{  E1U}    \bullet     \frac{UF1}{F1V}    =1
..........(*)\\
然后根据圆幂定理\\
VD1     \bullet      VX1 &=  VF1      \bullet     VZ1\\
WE1      \bullet     WY1&=   WD1      \bullet      WX1\\
UF1      \bullet     UZ1  &=UE1      \bullet        UY1\\
上面三个式子呢Insert..........(*)\\
\Longrightarrow    \\
\frac{VX1}{X1W}    \bullet   \frac{WY1}{  Y1U}    \bullet     \frac{UZ1}{Z1V}    &=1 \\
这样一来的话，我们运用Ceva  Theo.之逆定理\\
得到拉结论，结束啦证明\\





\end{align*}

dodonaomikiki

shangmian上面就是当时管方给出的证明、！
当然，不排除有更好的更通俗易懂的证明

dodonaomikiki

输入过程中，
产生一些错漏，纰缪，瑕疵和错误，
经过一一改正，汇集于下，供方家欣赏