A 是 n 阶正定阵，证明：min{tr(AB)／n : B 为 n 阶正定阵且 detB=1}=(detA)^(1／n)

wilsony

谁能证明？

ROLAND

对于最简单的证明，我们可以使用矩阵的特征值分解来证明这个等式。

设A为一个n阶矩阵，我们知道A可以进行特征值分解，即A = PDP^(-1)，其中P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。

现在考虑B为一个n阶正定矩阵且det(B) = 1。我们可以将B进行特征值分解，即B = QDQ^(-1)，其中Q是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素为B的特征值。

我们可以计算tr(AB)为：

tr(AB) = tr(PDP^(-1)QDQ^(-1)) = tr(PDQDQ^(-1)P^(-1)) = tr(PD^2P^(-1))

由于D是一个对角矩阵，所以D^2也是一个对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值的平方。因此，我们可以将tr(AB)进一步简化为：

tr(AB) = tr(PD^2P^(-1)) = tr(D^2P^(-1)P) = tr(D^2)

由于B是正定矩阵，所以它的特征值都是正实数。因此，D^2的对角线上的元素也都是正实数。

现在我们来计算min{tr(AB)/n : B为n阶正定阵且det(B)=1}。由于B是正定矩阵，所以D^2的对角线上的元素都是正实数，而且它们的和为tr(D^2)。

根据算术-几何平均不等式，我们知道对于任意的正实数x₁, x₂, ..., xₙ，有：

(x1 + x2 + ... + xn )/n ≥ (x1* x2 * ... * xn)^(1/n)

将上述不等式应用于D^2的对角线上的元素，我们得到：

tr(D^2)/n ≥ (det(D^2))^(1/n)

由于D是一个对角矩阵，所以det(D^2)等于D^2的对角线上的元素的乘积，即A的特征值的平方的乘积。

因此，我们可以将上述不等式改写为：

tr(AB)/n ≥ (det(A))^(1/n)

即：

min{tr(AB)/n : B为n阶正定阵且det(B)=1} ≥ (det(A))^(1/n)

现在我们需要证明反向不等式，即：

min{tr(AB)/n : B为n阶正定阵且det(B)=1} ≤ (det(A))^(1/n)

为了证明这个不等式，我们可以构造一个特定的正定矩阵B，使得tr(AB)/n = (det(A))^(1/n)。

考虑B = PΛP^(-1)，其中Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素为(det(A))^(1/n)。我们可以计算tr(AB)为：

tr(AB) = tr(APΛP^(-1)) = tr(PΛP^(-1)A) = tr(ΛP^(-1)AP)

由于A = PDP^(-1)，我们可以将上述等式进一步简化为：

tr(AB) = tr(ΛP^(-1)AP) = tr(ΛD)

由于Λ是一个对角矩阵，所以tr(ΛD)等于Λ和D的对角线上元素的乘积之和。由于Λ的对角线上的元素为(det(A))^(1/n)，而D的对角线上的元素为A的特征值，所以tr(ΛD)等于(det(A))^(1/n)乘以A的特征值的和。

因此，我们可以得出结论：

min{tr(AB)/n : B为n阶正定阵且det(B)=1} = (det(A))^(1/n)

证毕。

wilsony

谢谢发来解答长贴。