\(\large\textbf{科普}\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\ln x=0,\;\lim\sqrt[n]{n}=1.\)

elim

我知道常来这个版块的网友有不少没有学过微积分，所以当 jzkyllcjl
吐槽无穷多次计算无穷多次判断还达不到时，不少人会认同他。

定义若存在实数\(A\)使得对任给\(\varepsilon>0\), 有某\(N_{\varepsilon}\)使\(|a_n-A|<\varepsilon\,(n>N_{\varepsilon})\)
\(\quad\)则称\(\{a_n\}\)关于\(n\)趋于无穷的极限为\(A,\)记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A.\)

令\(\sqrt[n]{n}\small=1+h_n,\)则 \(\small n=(1+h_n)^n > \frac{n(n-1)}{2}h_n^2>0,\;\sqrt{\frac{2}{n-1}}>h_n>0\)
对一切大于1的正整数成立. 任给\(\varepsilon>0,\) 取\(\small N_{\varepsilon}=\left\lceil\dfrac{2}{\varepsilon^2}\right\rceil\), 则对\(n>\small N_{\varepsilon}\) 有
\(|\sqrt[n]{n}-1|=h_n< \sqrt{\frac{2}{n-1}}< \varepsilon\). 故由序列极限的定义, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\).

待续.

elim

对 \(0< x < 1,\)令 \(n=\lceil x^{-1}\rceil,\) 则 \(x^x\small =\dfrac{1}{(1/x)^x}\ge \dfrac{1}{n^x}\ge \big(\dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}\big)^2\),
且\(x^x\small< \dfrac{1}{(n-1)^x}<\dfrac{1}{\sqrt[(n-1)]{n-1}},\;\;(x\to 0+\iff n\to\infty)\)
据1楼及夹逼定理,\(\displaystyle\lim_{x\to 0+} x^x=1\)从而\(\small\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\ln x =\lim_{x\to 0+}\ln x^x= \ln 1=0\)

elim

我略去了函数极限的定义以及一些不等式的推导论证。这些是高等数学的标准内容，
我寥寥数贴不可能取代教材.
需要特别指出，求极限从来不需要无穷多次计算和判断。极限不是算出来的，而是
(利用变量和不等式)分析出来的。

最后，极限的定义根本不涉及 n 达到无穷，序列或函数值达到极限值这种东西。

elim

定义若存在实数\(A\)使得对任给\(\varepsilon>0\), 有某\(N_{\varepsilon}\)使\(|a_n-A|<\varepsilon\,(n>N_{\varepsilon})\)
\(\quad\)则称\(\{a_n\}\)关于\(n\)趋于无穷的极限为\(A,\)记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A.\)
评注：首先对序列和极限说几句．这里的序列是指无穷个数的一个排列．
一般用通项公式(一般项作为序号变元n的函数公式)给出，无须逐一枚举．
关于极限，人们通常这么说：”当n趋于无穷时,\(a_n\) 趋于 A.” 粗看这话通俗易懂
简单明了，其实含有诸多漏洞，酿成第二次数学危机，耗杰出数学家们近百年
才给出恰当的数学基础框架．并且至今仍是很多人过不去的坎：什么是无穷？
什么是趋于？什么是趋于无穷时？如何论证一个序列趋于某极限？不同的方法
是否可能得到同一个序列的不同的极限？以上定义澄清或避免了这些疑点，给
出了序列趋于极限的鉴别准则．我还会回到极限定义这个话题上来．

令\(\sqrt[n]{n}\small=1+h_n,\)则 \(\small n=(1+h_n)^n > \frac{n(n-1)}{2}h_n^2>0,\;\sqrt{\frac{2}{n-1}}>h_n>0\)
对一切大于1的正整数成立. 任给\(\varepsilon>0,\) 取\(\small N_{\varepsilon}=\left\lceil\dfrac{2}{\varepsilon^2}\right\rceil\), 则对\(n>\small N_{\varepsilon}\) 有
\(|\sqrt[n]{n}-1|=h_n< \sqrt{\frac{2}{n-1}}< \varepsilon\). 故由序列极限的定义, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\).
评注：序列极限的定义并没有提供求极限的算法．但它指出\(a_n\to A\iff a_n-A\to 0\)
从\((\sqrt[(n+1)]{n+1}/\sqrt[n]{n})^{n(n+1)}=(1+\frac{1}{n})^n/n\) 得 \(1<\sqrt[(n+1)]{n+1}<\sqrt[n]{n}\) .  可见
序列减，有下界 \(1.\) 猜想其极限为 \(1\) (序列的子列 \(\{(2^{2^k})^{(2^{2^k})^{-1}}\}\)趋于1)
于是往证 \(h_n\small=\sqrt[n]{n}-1\)趋于\(0.\) 据二项式定理, \(\small n=1+nh_n+\frac{n(n-1)}{2}h_n^2+\cdots\)
可见 \(n> \frac{n(n-1)}{2}h_n^2,\;h_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}\;(n>1)\) 接着要干什么就清楚了．

待继

elim

mathematical  等网友是否也能帮 jzkyllcjl 和范副等人端正一下极限观和相应的方法论？