求问一个关于平面与方向向量和法向量的关系的问题

tulipmary

有两道题，第一道题是，已知一个平面的向量形式的表达式，如何找到该平面的法向量？
答案是：把两个方向向量相乘。
第二道题是，已知一个平面的标量形式的表达式，如何找到一个方向向量？
答案是：把法向向量和任意一个其它的方向向量相乘。
第一个问题我明白，教材里就这么讲的，但是第二个问题十分不明白。求解惑！
原题：
1.        Q: Given a plane in vector form, how can you find a normal vector?
A: Take the cross product of the two directions.
2.        Q: Given a plane in scalar form, how can you find a direction vector?
A: Take the cross product of the normal and any other vector.

Nicolas2050

　同济的高数里不就有例题？有图。定义搞清楚。

tulipmary

我不在中国.......
我是自学的。教材里木找到这部分内容

luyuanhong

问：已知一个平面的法向量，如何求这个平面的一个方向向量？

答：我们知道：一个平面的法向量，必定与这个平面的方向向量垂直，而且

任何一个与平面法向量垂直的非零向量，都可以作为这个平面的方向向量。

   我们还知道：任何两个向量作叉乘得到的叉乘积，必定与这两个向量垂直。

   所以，我们可以任取一个与法向量不同的非零向量，用这个向量与法向量

作叉乘。这样得到叉乘积，必定与法向量垂直，因此它就是一个方向向量。

tulipmary

谢谢陆老师
我找到这张三维示意图，蓝色箭头是A，绿色箭头是B，A和B表示同一平面的方向向量。红色箭头是C，表示该平面的法向向量。如果把A和B交叉相乘，得到的是C，但是如果把C和A相乘，得到的就不是B了吧？应该是跟A和C所在的平面垂直，并且也属于那个紫色平面的一个方向向量了吧？我这样理解对不对？

luyuanhong

对的，你的理解正确。

tulipmary

luyuanhong 发表于 2023-11-12 17:14
对的，你的理解正确。

谢谢陆老师！

denglongshan

既然向量有单位，向量叉乘后就是面积，而不是长度，面积垂直于长度？

天山草

denglongshan 发表于 2023-11-15 18:58
既然向量有单位，向量叉乘后就是面积，而不是长度，面积垂直于长度？

两个向量叉乘仍是一个向量，这个向量的方向按右螺旋法则，其绝对值等于下图中那个平行四边形的面积。
不能说【向量叉乘后就是面积】。