数列 {An} 满足 A(i)-(3+x)A(i+1)+(3+x)A(i+2)-A(i+3)=0，已知 A1,A2,A3，求通项公式

sdlsd

已知数列\(\left\{ A_n\right\}\)，其首项为\(A_1\)，第二项为\(A_2\)，第三项为\(A_3\)，且符合：
\[A_i-\left( 3+x\right)A_{\left( i+1\right)}+\left( 3+x\right)A_{\left( I+2\right)}-A_{\left( i+3\right)}=0\]
也就是
\[A_i-\left( 2+x\right)A_{\left( i+1\right)}+A_{\left( i+2\right)}=A_{\left( i+1\right)}-\left( 2+x\right)A_{\left( i+2\right)}+A_{\left( i+3\right)}\]

显然，按照特征方程法，存在三个特征根：
\[\gamma=1\]
\[\beta=1+\frac{x}{2}-\sqrt{\left( 1+\frac{x}{2}\right)^2-1}\]
(第2个特征根见附图)
且这三个根存在\[\alpha\times\beta=\gamma=1\]

请写出其通项公式。

sdlsd

假设
\[A_i-\left( 2+x\right)A_{\left( i+1\right)}+A_{\left( i+2\right)}=0\]
时，原三阶特征方程当然成立。
也就是原数列实际上可做二阶数列处理。
太奇怪了吧！


那么，假设
\[A_i-\left( 2+x\right)A_{\left( i+1\right)}+A_{\left( i+2\right)}=m\]
时（m是个非0的具体常数），
那又作何解释！


因此，三个特征根的详细解析需要深入理解！

Treenewbee

不奇怪。
时，原三阶特征方程当然成立。
也就是原数列实际上可做二阶数列处理。
m=0时，通项公式中的三项n次表达式有一项为0，故表现为二阶数列

sdlsd

Treenewbee 发表于 2023-11-21 21:24
不奇怪。
时，原三阶特征方程当然成立。
也就是原数列实际上可做二阶数列处理。

下面是两种情况(上图是一个三阶案例，下图是另一个二阶案例)的数列趋势拟合图(2次)。

sdlsd

Treenewbee 发表于 2023-11-21 21:24
不奇怪。
时，原三阶特征方程当然成立。
也就是原数列实际上可做二阶数列处理。

而上面的两个例子，改为线性拟合时，决定系数明显降低

sdlsd

Treenewbee 发表于 2023-11-21 21:24
不奇怪。
时，原三阶特征方程当然成立。
也就是原数列实际上可做二阶数列处理。

那么，第一个案列（上图）是和第二个案例（下图）一样，都可以判断是二阶递归呢？

sdlsd

通过代入具体的数列，证明：
两个案例的m确实都等于0。无须再行讨论。

sdlsd

经过争论，问题越来越明了。本数学题源于实践问题，解决实践问题，相关成果已经发表在CSCD期刊，感谢各位参与者的讨论贡献。

luyuanhong