【资料】KOREA 初中数学奥林匹克，求所有整数对 (x,y)，使得 y^2=x^3+2x^2+2x+1

dodonaomikiki

感觉题目非常简洁

uk702

由于 \( x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) \)，易知 \( x+1 \) 和 \( x^2 + x + 1 \) 互质。

∴ 必有整数 u 和 v，满足：\( x+1 = u^2， x^2 + x + 1 = v^2 \)
将 \( x = u^2 - 1 \) 代入，得  \( x^2 + x + 1 = u^4 - u^2 + 1 \)，
而当 \( u^2 > 1 \) 时，有  \(  (u^2-1)^2 < u^4 - u^2 + 1 < (u^2)^2 \)，
∴ \( u^2 - 1 < \sqrt{u^4 - u^2 + 1} < u^2 \)
所以 \( x^2 + x + 1 = u^4 - u^2 + 1 \) 不可能是一个完全平方数。

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实际上， \( x > 0 \) 时，必有 \( x^2 <  x^2 + x + 1 < (x+1)^2 \)， 所以 \( x^2 + x + 1 = v^2 \) 无解。
当 \( x < -1 \) 时， \(  (x+1）^2 < x^2 + x + 1 < x^2 \) ，\( x^2 + x + 1 = v^2 \) 同样无解。

Future_maths

x=0, y=+/-1就是一组解。

Future_maths

x=-1, y=0也是一组解。

dodonaomikiki

首先，排除啦x>O,以及x<-1の两种情形！

dodonaomikiki

其次，

\begin{align*}
\Longrightarrow    &三组解答:\\
\begin{cases}            x&=0       \\        y=+1           \end{cases}\\


\begin{cases}       x&=0            \\        y=-1           \end{cases}\\



\begin{cases}        x&=-1           \\     y=0              \end{cases}\\

\end{align*}

dodonaomikiki

最后，非常感谢  UK  以及  FUTURE两位老师！
我上面的阐述，只不过是【总结陈述】罢了！

波斯猫猫

题：解不定方程y＾2＝x＾3＋2x＾2＋2x＋1。
思路：令y＝k＋1，则k（k＋2）＝x（x＾2＋2x＋2）。
即是说上述等式表示两个连续奇数或偶数的积。
∴x＾2＋2x＝x，或x＾2＋2x+4＝x。前者解得x＝0或x＝-1，而后者无实数解。
∴原方程的解为（x，y）＝（0，±1）或（-1，0）。