不定方程的解与排列组合

白新岭

我搜索了下，还是有这方面的文章（说博客帖更为合适），里面讲到隔板法与方程解的对应关系，他谈到，两种模型，模型1，有6本书，分给4给同学，每人至少分到一本，有多少种分法。这是典型的隔板法例题，把6本书排成1排，然后拿3块隔板，放在6本书之间5个空位上，则把6本书分成有序的4部分，每部分对应着1个人，所以，隔板的方法就是分给四个人的分法，如果与线性不定方程建立起关系，则x+y+z+u=n，此时n=6，问线性不定方程的正整数解组数是多少，显然与分给4个同学的分法数一致，答案：\(C_5^3\)=10
       模型2,  六本书分给4个同学，每个同学可以分不到书，有多少种分法呢？这时直接分析就困难了，那么在模型1的基础上，x+y+z+u=6，如果允许分不到书，就是说（x+1）+（y+1）+（z+1）+（u+1）=10，（方程两边同时加4，等式不变，解组数不变），然后在用大写变量替换：X+Y+Z+U=10，此时，要求后者至少分到1本书，与原方程要求可以分不到书，解组数一致，此时，再运用模型1，就迎刃而解了，是：\(C_{9}^3\)
       以上，全程属于翻版，只是在理解的基础上，按照自己的风格而写罢了。
        我之所以，先把它们搬出来，是因为：合成方法论就是从这里开始的，不过直到现在，也没有人把这种，线性不定方程的解组数，与排列组合，更深层次的联系起来。
       例如，在不被3,5整除的正整数中，x+y+z=23有多少组满足条件的解？这种问题能不能形成一种新的课题，重点研究与探讨。

白新岭

排列五出了39708，上边\(C_3^9\)挺显眼的，彩票站老板说她的房分布七零八落（708落地生根）。