数列满足 a(1)=√2+1，a(n+1)=1／[1-a(n)]，若 100 项之和为 90-20√2，求它们的乘积

wintex

Treenewbee

易知\[ a_n是以\{\sqrt{2}+1,-\frac{1}{\sqrt{2}},2-\sqrt{2}\}\]为周期的序列

设挑出的100中，三项分别有\[x,y,z\]个,则有：
\[x(\sqrt{2}+1)+y(-\frac{1}{\sqrt{2}})+z(2-\sqrt{2})=90-20\sqrt2\]
即 \[x + y + z = 100, x + 2 z = 90, x - y/2 - z = -20\]
解得：
\[x=30,y=40,z=30\]
故此100项之乘积为：
\[(\sqrt{2}+1)^{30}*(-\frac{1}{\sqrt{2}})^{40}*(2-\sqrt{2})^{30}=\frac{1}{32}\]

luyuanhong

楼上 Treenewbee 的解答已收藏。