对泰特有漏洞的证明的分析与补充

雷明85639720

对泰特有漏洞的证明的分析与补充
雷  明
（二○二三年十一月二十九日于）

1，在1879年坎泊给出了第一个对四色猜测的有漏洞的证明之后，紧接着次年的1880年泰特又依据另一个错误的猜想——“每一个平面三次图都有哈密顿圈”——宣布他也证明了四色猜测是正确的。但在六十六年之后的1946年，图论大师塔特却发现了不含哈密顿圈的平面三次图——塔特图，说明泰特的证明也是有漏洞的。
2，虽然也见不到泰特的具体证明是什么样的，但根据他的错误依据，还是可以进行分析的。泰特既然认为平面三次图都有哈密顿圈，就说明他只证明了有哈密顿圈的平面三次图的面着色时，四色猜测是正确的。而无哈密顿圈的平面三次图的四色猜是否正确却被遗漏了，范了与坎泊证明时同样的错误，还需要进一步的去补充证明。
3，泰特猜想还有另一种说法，即平面三次图的可3—边着色，等价于其可4—面着色。注意，这里所说的平面三次图是指泰特所说的有哈密顿圈的图，即有一个经过了图中所有顶点的边二色圈（即哈密顿圈）。由于该圈中各顶点都是3度顶点，都连有相同的两种颜色，各都还剩一条边均可着成第三种颜色。这时图中就只有三种颜色的边。这就证明了有哈密顿圈的平面三次图都是可3—边着色的。
4，用了三种颜色进行边着色的图中，由两种颜色的边构成的面（边数≥2的偶数边面）有三种，由三种颜色的边构成的面（边数≥3的奇数边面）只有一种，共计四种面，每种面用一种颜色着色，就只有四种颜色的面。这就证明了可3—边着色的可哈密顿的平面三次图一定是可4—面着色的。
5，同样的，若有可4—面着色的可哈密顿的平面三次图，两两颜色的面可能构成的边界线（边）共有6种，其中有三对是互斥边界，永远不会相邻，可以用相同的颜色进行边着色。这样，图中就只有三种颜色的边了。这也就证明了可4—面着色的可哈密顿的平面三次图也一定是可3—边着色的。这也就证明了泰特猜想是正确的。
6，现在看来，要证明任何平面三次图（包括无哈密顿圈的平面三次图也在内）的四色猜测也都是正确的，就必须证明任何平面三次图也都是可3—边着色的。由于任何图边着色时的色数（边色数）与其最大度相同，而平面三次图各顶点的度都是3且是最大度，所以任何平面三次图也都是可3—边着色的。根据泰特猜想可以得到，任何可3—边着色的平面三次图也一定都是可4—面着色的。不仅仅只是如此，还进一步把泰特猜想扩展到了任意的平面三次图的范囲之内。
7，由于地图本身就是一个无割边的平面三次图，也是无割边的3—正则平面图，所以这里也就证明了地图和3—正则平面图的面着色时，四色猜测也是正确的。
8，又由于平面三次图（即3—正则平面图）的对偶图是极大平面图，而极大图的顶点对应的就是其原图（3—正则图）的面，所以极大图的顶点着色时，四色猜测也是正确的。这就把给地图的面上的着色转化成了对平面图的顶点着色上来了。
9，由于一个可4—着色的极大平面图，通过“去顶”和“减边”后，所得到的任意平面图的色数只会减少，而不可能再增大，所以这就又把极大平面图的四色问题转化成了任意平面图的四色问题了。
10，通过对平面图的不可避免构形可约性的研究，说明了平面图的不可避免构形都是可约的，这就证明了任意平面图的四色猜测也是正确的。四色猜测是正确的，四色问题得到了解决。

雷  明
二○二三年十一月二十九日于长安

雷明85639720

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