从 {1,2,…,100} 中任选 3 个不同的数字组合成一个三角形的三边长，共有几种选法？

wintex

2022_111 中投區

Treenewbee

1. Length@Select[Subsets[Range@100, {3}], Total@#>2 #[[3]] &]

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79625

luyuanhong

lihp2020

但是 别个 应该是考试题 或者家庭作业  两次累计求和  而且还带min    怎么算？ 这样还不如数  从 1数到79625?

天山草

lihp2020 发表于 2023-12-1 09:46
但是 别个 应该是考试题 或者家庭作业  两次累计求和  而且还带min    怎么算？ 这样还不如数  从 1数到796 ...

这种题不知道能不能手工计算？如果不能，就不可以作为考试题。
我相信，世界上总有许多问题是不能手工算的，所以不要排斥计算机和计算软件。

lihp2020

我也是做程序开发的 不排斥  但是这个 明显是考试题 或者家庭作业 旁边 还写了 "9分"

lihp2020

考试的思路 故意不写步骤  避免白嫖
100 选择3 个   组合

我们假设 a<b<c
当c=100 b =99 a可取范围 2~98
                b=98   a可取范围 3~97
                b=100-k时  a可取范围 k+1~100-k-1
                b=51(100-49) a可取范围50~50
               
               
明显 可以得到 当C=100 的结果 是  1+3+5+ + + 97   = (100-2/2)^2
可以得到 C=100 是  结果是关于 100的二次方程

再来分析
当C=奇数 99
  B=98 a可取范围 2~97
  b=97 aa可取范围 3~96
  b=100-k时  a可取范围 k+1~99-k-1
  b=52(100-48) a可取范围49~50
  b=51(100-49) a可取范围50~49(无效)
  。。。
  可以得到 C=99 是  结果是关于 99的二次方程（可能和偶数的不一样 但是差不多）
  C=98 时 可以参考 c=100 绝对一模一样
  
C 从4到100 最后结果 可能 是关于 100 的3次方程  (可能奇偶 有点不一样 )
按照上方 一定就可以做了  下面的内容 是直接怼公式
按照组合数学的公式强怼
F（n）=a1*C（n，3）+a2*C（n，2）+a3*C（n，1）+a4
由于猜测奇偶 可能结果不一样 那么我们只算偶数的 且

F(4) =1
F(6) =7
F(8)=22
F(10)=50
F(12)=95
可以解的 a1=1/2 a2=-1/4 a3=1/8 a4=0

F（n）=C（n，3）/2-C（n，2）/4+C（n，1）/8
C(100,3)=100*99*98/6=161700
C(100,2)=100*99/2=4950
C(100,1) =100
F（100）=161700/2-4950/4+100/8=79625

Treenewbee

\[a_n=\left\lfloor \frac{1}{24} (n-4) \left(2 n^2-n+6\right)\right\rfloor +1\]

luyuanhong

Treenewbee

luyuanhong 发表于 2023-12-1 11:52

MMA推导出来

1. FindSequenceFunction[Table[Floor[n(n-2)(2n-5)/24],{n,10}],n]//FullSimplify

复制代码

\[a_n=\frac{1}{48} \left(2 n^2-6 n+1\right) (2 n-3)+\frac{(-1)^n}{16}\]