仿泰特方法证明地图四色猜测

雷明85639720

仿泰特方法证明地图四色猜测
雷  明
（二○二三年十二月一日）

1，任何地图都是一个平面三次图（3—正则图），各顶点都连有三条边。
2，既然泰特认为“每一个平面三次图都有哈密顿圈”，我们也就先看有哈密顿圈的平面三次图是否都是可3—边着色的。
3，由于平面三次图都有偶数个顶点，所以该图中的哈密顿圈一定是偶圈，边着色时就是一个边二色圈。圈上每个顶点所连的三条边中有两条都已着上了颜色，也都有一条边还未着色。这些未着色的边都是单边，互不相邻，都着上相同的第三种颜色完全是可以的。这就证明了有哈密顿圈的平面三次图是可3—边着色的，色数是3。
4，色数是3的可3—边着色的有哈密顿圈的平面三次图中，用两种颜色的边构成的面（边数≥2的偶数边面）最大可能只有三种，用三种颜色的边构成的面（边数≥3的面）最大只可能是一种，共四种面。面着色时各用一种颜色，共需四种颜色。但四种面不一定都同时存在，所以该图的面着色是可4—着色的，色数是≤4的。这就证明了有哈密顿圈的平面三次图的可3—边着色等价于其可4—面着色。
5，用四种颜色面着色的有哈密顿圈的平面三次图中，两两颜色的面相邻所交的边共六种，且分成了三对，每对中的两条边都是一对互斥边，永远不可能相邻。边着色时每对互斥边完全可着上相同的颜色。这样图中就只有三种颜色的边。这也就证明了面着色数是4的有哈密顿圈的平面三次图也与其色数是3的可3—边着色是等价的。
6，以上4，5两点就证明了泰特猜想是正确的。它不但说明了有哈密顿圈的平面三次图的可3—边着色等价于其可4—面着色，而且也适合于任何边色数是3的平面三次图。
7，1946年塔特发现了无哈密顿圈的平面三次图，说明平面三次图是否可4—面着色与其是否含有哈密顿圈是无关的。只要证明了任何平面三次图都是可3—边着色的，再根据已证明过的泰特的“可3—边着色的平面三次图与其可4—面着色是等价的”猜想，就可以得到任何平面三次图都是可4—面着色的结论。
8，由于任何图的边着色数都与其最大度△（与同一顶点相邻最多的边数）相同，而平面三次图各顶点的度都是3且是最大度，所以平面三次图的边色数一定是3，这就证明了任何平面三次图也都是可3—边着色的，也就等于证明了任何平面三次图也都是可4—面着色的。
9，现在可以把“每一个平面三次图都含有哈密顿圈”的猜想改写成“每一个平面三次图都是可3—边着色的”了。
10，由于任何平面三次图都是可4—面着色的，也就证明了任何地图也都是可4—着色的。地图的四色猜测是正确的。

雷  明
二○二三年十二月一日于长安