记 C(n)=√{(n-1)／[n(n+1)]} ，n 为自然数，证明：∑(i=1,n)C(i)＜2√n

大荒星陨逃跑

记cn=\(\sqrt{\frac{n-1}{n\left( n+1\right)}}\),n为自然数

证明：\(\sum_{i=1}^nCi\)<2\(\sqrt{n}\)

除了数学归纳还有其他高级点的方法吗？

Treenewbee

\[\sqrt{\frac{k-1}{k\left( k+1\right)}}<\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\]

\[\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k-1}{k\left( k+1\right)}}<\sum_{k=1}^{n}{2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})}=2\sqrt{n}\]

luyuanhong

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