无理数α∈(0,1)，证明有正整数a1＜a2＜a3＜…使∑(n=1,∞)(-1)^(n+1)／(a1a2…an)=α

chlu

請問一個無窮級數的問題，感激不盡。



我知道這個問題在說什麼，不才的是，我尚且找不到好的寫法。

王守恩

寫法不是问题。这样寫，大家也看得懂。
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2*2}+\frac{1}{2*2*2}-\frac{1}{2*2*2*2}+\cdots\cdots=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*3*4}-\frac{1}{2*3*4*5}+\cdots\cdots=\frac{1}{e}\)
\(\frac{1}{2^0}-\frac{1}{2^0*2^1}+\frac{1}{2^0*2^1*2^2}-\frac{1}{2^0*2^1*2^2*2^3}\cdots\cdots=0.610322\)
\(\frac{1}{3^0}-\frac{1}{3^0*3^1}+\frac{1}{3^0*3^1*3^2}-\frac{1}{3^0*3^1*3^2*3^3}\cdots\cdots=0.702349\)

王守恩

谢谢网友 chlu！   a1,a2,a3,=1,3,24,       A226053
               
1, 3, 24, 815, 2263886, 9073564639850, 176228569027146222763928594, 84205747605016031994416006285857418872429042805656089,

chlu

王守恩 发表于 2023-12-24 08:29
谢谢网友 chlu！   a1,a2,a3,=1,3,24,       A226053
               
1, 3, 24, 815, 2263886, 907356 ...

我可以理解是左右逼近的結果，但要寫出證明我還需要更多努力。

cgl_74

这个题目看上去比较难！如果没有专门的针对性知识，恐怕解决有困难。

我初步看了下，这个无穷级数是收敛的，并且值域范围在(0, 1)之间。至于是否任何无理数，都能用一个唯一的上述形式来表示，我目前既不能证实，也不能证伪！首先证明任何无理数要能表示这个无穷级数，其次还要证明这种表示方法是唯一的。那个数列ai，应该是通过某种规则构造出来的，要构造得非常巧妙，才有可能证明结论。

这个题目我看好几个人在问。请问这个题目原始来源是什么呢？如果能证明，将会是一个有趣的结论！当然，此命题也可能是错的，只是要证明错误，同样也不容易。

王守恩

还简单一些。A091831                Pierce expansion of 1/sqrt(2)

{1, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801, 60245508192803,
218662352649181293830957829984632156775201,
218662352649181293830957829984632156775203,
1045495214949533748385099187796335300703912924044130047385470740995840\
5643210820820334358767544214981903739582932832429216801,
1045495214949533748385099187796335300703912924044130047385470740995840\
5643210820820334358767544214981903739582932832429216803,

王守恩

无理数α∈(0,1)都可以有解。只要把\(\sqrt{1/2}\)  换一下就可以。
1，算式复杂了，思路慢慢还是可以看出来的。

1. Table[Solve[{Floor[1/α] == a1,
   
2. Floor[Floor[-1/(α - a1^-1)]*1/a1] == a2,
   
3. Floor[Floor[1/(α - a1^-1 + (a1*a2)^-1)]*1/(a1*a2)] == a3,
   
4. Floor[Floor[-1/(α - a1^-1 + (a1*a2)^-1 - (a1*a2*a3)^-1)]*1/(a1*a2*a3)] == a4,
   
5. Floor[Floor[1/(α - a1 + (a1*a2)^-1 - (a1*a2*a3)^-1
   
6. +(a1*a2*a3*a4)^-1)]*1/(a1*a2*a3*a4)]==a5,
   
7. Floor[Floor[-1/(α - a1 + (a1*a2)^-1 - (a1*a2*a3)^-1
   
8. +(a1*a2*a3*a4)^-1 - (a1*a2*a3*a4*a5)^-1)]*1/(a1*a2*a3*a4*a5)]==a6,
   
9. Floor[Floor[1/(α - a1 + (a1*a2)^-1 - (a1*a2*a3)^-1 + (a1*a2*a3*a4)^-1
   
10. -(a1*a2*a3*a4*a5)^-1+(a1*a2*a3*a4*a5*a6)^-1)]*1/(a1*a2*a3*a4*a5*a6)]==a7},
    
11. {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}], {α, Sqrt[1/2], Sqrt[1/2]}]

复制代码

{{{a1 -> 1, a2 -> 3, a3 -> 8, a4 -> 33, a5 -> 35, a6 -> 39201, a7 -> 39203, a8 -> 60245508192801}}}
2，算式可以简单一点。

1. PierceExp[A_, n_] := Join[Array[1 &, Floor[A]],
   
2. First@Transpose@NestList[{Floor[Expand[1 - #[[1]] #[[2]]]^-1],
   
3. Expand[1 - #[[1]] #[[2]]]} &, {Floor[(A - Floor[A])^-1],
   
4. A - Floor[A]}, n - 1]]; PierceExp[N[Sqrt[1/2], 6!], 11]

复制代码

{1, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801, 60245508192803,
218662352649181293830957829984632156775201,
218662352649181293830957829984632156775203}

chlu

王守恩 发表于 2023-12-26 03:48
无理数α∈(0,1)都可以有解。只要把\(\sqrt{1/2}\)  换一下就可以。
1，算式复杂了，思路慢慢还是可以看出 ...

這是我的想法，煩請指教，感激。

cgl_74

chlu 发表于 2023-12-30 01:55
這是我的想法，煩請指教，感激。

看了一下你的解法。整体思路上可能可行，唯一性的证明还没看出。
细节上，看到第3行。
第3行的结论是如何得来的呢？包括后面的每一行的结论。这个并非那么显而易见。