数列满足 a(0)=1，b(0)=0，a(n+1)=7a(n)+6b(n)-3，b(n+1)=8a(n)+7b(n)-4，求通项 a(n)

allen125

請問這題

lihp2020

我会   但是 简单看了 好像有点计算量  提示 求先求第三方 Cn =An+kBn的通项 (k求法 很特殊)

lihp2020

a(0)=1，b(0)=0，a(n+1)=7a(n)+6b(n)-3，b(n+1)=8a(n)+7b(n)-4
记c(n)=a(n)+kb(n) 则 c(n+1)=a(n+1)+kb(n+1)
c(n+1)= a(n+1)+kb(n+1)
   =7a(n)+6b(n)-3+k*(8a(n)+7b(n)-4)
        =（7+8k）* a(n)+（6+7k) * b(n)+（-3-4k）
解方程（6+7k)/(7+8k)=k
k=+-sqrt(3)/2
先取+号  后面取 - 再算一下 应该结果一样
c(n+1)=a(n+1)+ sqrt(3)/2b(n+1)
=（7+4 sqrt(3)）* a(n)+（6+7 sqrt(3)/2) * b(n)+（-3-2 sqrt(3)）
=（7+4 sqrt(3)）* a(n)+ （7+4 sqrt(3)）* (sqrt(3)/2)* b(n)+（-3-2 sqrt(3)）
c(n+1)= (7+4 sqrt(3)）* c(n)+ （-3-2 sqrt(3)）
c(1)=1
…   反正可以计算 (太难计算了 理论给出来了)  
C(n+1)=qC(n)+p 在来C(n+1)-s=q(C(n)-s) -> C(n)-s  是等比数列
这样就可以求出C（n）的通项公式
再 c(n)=a(n)+kb(n) b(n) 可以用an 表示
代入 a(n+1)=7a(n)+6b(n)-3 也可以求 a(n)
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以前考试步骤分
1 创建c(n)
2 求 k
3 求 c(n)
4 求 a(n)

cgl_74

此题有通用解法，也不怎么难。真有兴趣学习的，可以参考我以前的帖子，关于数列通项的。3楼的同学是没找到好的解法啊！或者是没理解好的解法。

lihp2020

我也不晓得 以前都是这样做的 一般解出来k都是个有理数甚至 整数 后面还是很好计算  理论没得问题 可能这种题 还有更简单的方法 我不会吧

Nicolas2050

解答：
分析 a 0 =1，b 0 =0，且（n∈N），
可得a 1 =4，b 1 =4，由7a n+1 =49a n +42b n -21，6b n+1 =48a n +42b n -24，
再利用二项式定理展开即可证明．
本题考查了递推关系的应用、数列的特征方程、二项式定理的应用、完全平方数，考查了推理能力与计算能力．

王守恩

\(a(n)=\lceil\frac{(2 + \sqrt{3})^{2 n}}{4}\rceil=\big(\lceil\frac{(2 + \sqrt{3})^{n}}{2}\rceil\big)^2\)
a(n)=1, 4, 49, 676, 9409, 131044, 1825201, 25421764, 354079489, 4931691076,
68689595569, 956722646884, 13325427460801, 185599261804324, ......

\(b(n)=\lfloor\frac{ (2 + \sqrt{3})^{2 n}}{2 \sqrt{3}}\rfloor\)
b(n)=0, 4, 56, 780, 10864, 151316, 2107560, 29354524, 408855776, 5694626340,
79315912984, 1104728155436, 15386878263120, 214311567528244, ......

a(n)在OEIS--A055793。b(n)在OEIS是搜索不到的。

allen125

感謝各位 我一直想這數據是如何