求 y=12x^2-x^3（0＜x＜12）的最大值

波斯猫猫

求y=12x^2-x^3(0＜x＜12)的最大值。

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题：求y=12x^2-x^3(0＜x＜12)的最大值.

导数法：yˊ=24x-3x^2=0，解得x=8  (0＜x＜12).  对yˊ=24x-3x^2=3x(8-x)，

当0＜x＜8时，有yˊ＞0，此时yˊ为增函数，当x＞8时，有yˊ＜0，此时yˊ为减函数，

故当x=8 时，y=12x^2-x^3(0＜x＜12)必有最大值.

即ymax=12x8^2-8^3=256.

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题：求y=12x^2-x^3(0＜x＜12)的最大值.

均值定理法：y=12x^2-x^3=4[(x/2)(x/2)(12-x)]     (x/2，(12-x)∈R+)

≤4{[x/2+x/2+(12-x)]/3}^3=256  (当且仅当x/2=12-x，即x=8时等号成立).

即ymax=256.

注1：其几何模型为底面边长是x/2的正方形，高为12-x的长方体，即棱长为4
的正方体，共有4个.棱长和一定，其体积有最大值.
   2，当然亦可2y=24x^2-2x^3=x^2.(24-2x)≤{[x+x+(24-2x)]/3}^3=512
  (当且仅当x=24-2x，即x=8时等号成立). 即ymax=256.其几何模型为棱长是8
的正方体的一半.

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题：求y=12x^2-x^3(0＜x＜12)的最大值.

不等式法：在(0，12)内，令ymax=a，则12x^2-x^3≤a，即x^3-12x^2+a≥0.

故必存在实数t∈(0，12)和r∈[0，+∞)，使(x-t)^2(x+r)≥0，即x^3-(2t-r)x^2+(t^2-2tr)x+t^2r≥0.

故2t-r=12，且t^2-2tr=0. 解得t=8，r=4. 从而ymax=a=t^2r=8^2x4=256.

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题：求y=12x^2-x^3(0＜x＜12)的最大值.

换元法：因0＜x＜12，故可令x=12t (0＜t＜1).

所以，y=12x^2-x^3=12^3(t^2-t^3)=12^3[-(t-2/3 )^2(t+1/3 )+4/27]

=-12^3(t-2/3 )^2(t+1/3 )+256≤256(当且仅当t=2/3，即x=8时等号成立).

故ymax=256.

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还能找到其它解法吗？

dodonaomikiki

哈哈，结合图形来看，
2楼解法一步到位！

dodonaomikiki

感觉二楼的解法，比较爽歪歪嘛！