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用筛法求不少于N的孪中可以写成两个孪中和的个数

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发表于 2024-1-6 21:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
我们知道孪中一定是6的倍数,设N/6=m,则有:
       1      2      3      4      5      6      7      8      9      10......m-2  m-1
    m-1  m-2   .....10      9      8      7      6       5      4      3      2      1
它们上下相加都等于m
设m-1  m-2  m-3  m-4  m-5 中m是5的倍数它们的除以5的余数则为:
       4      3      2     1      0
这个上下相加用除以5的余数表示则有:
       1      2      3      4      0      1      2      3      4      0.......
       4      3      2      1      0      4      3      2      1      0.......
简化一下则为:
①    1      2      3      4      0
       4      3      2      1      0
可以看出①里面五组有2和3,3和2以及0和0三组有可能是孪中之和,占(1-2/5)=3/5
m-1除以5还可以余2,3,4,0,分别用上下相加用除以5的余数表示则有以下4种:
② 1      2      3      4      0
    3      2      1      0      4
③ 1      2      3      4      0
    2      1      0      4      3
④ 1      2      3      4      0
    1      0      4      3      2
⑤ 1      2      3      4      0
    0      4      3      2      1
1      2      3      4      5中虽然1是孪中,但是5a+1不会是孪中,所以可以认为余数为1或者4都不可能是孪中
所以上面②和⑤里面五组只有一组有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5,③和④里面五组则有两组有可能是孪中之和,占(1-3/5)=2/5
按照上面的分析②和⑤有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5最少,③和④是2/5不多不少,①是3/5最多
同样道理上下相加用除以7的余数表示则有:
①    1      2      3      4      5      6      0
       6      5      4      3      2      1      0
②    1      2      3      4      5      6      0
       5      4      3      2      1      0      6
③    1      2      3      4      5      6      0
       4      3      2      1      0      6      5
④    1      2      3      4      5      6      0
       3      2      1      0      6      5      4
⑤    1      2      3      4      5      6      0
       2      1      0      6      5      4      3
⑥    1      2      3      4      5      6      0
       1      0      6      5      4      3      2
⑦    1      2      3      4      5      6      0
       0      6      5      4      3      2      1
因为余数为1或者6都不可能是孪中
所以①里面有可能是孪中之和的占(1-2/7)=5/7,③和⑥占(1-3/7)=4/7,②④⑤⑦各占(1-4/7)=3/7是最少的
依此类推除以p的p种情况有可能是孪中之和占比最少为(1-4/p),不多不少为(1-3/p),最多为(1-2/p)。这样用连乘积表示N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
(N/6)∏(1-4/p)         (其中3<p<√N)
当n趋近无限大 时则为(N/6)∏(1-4/p)/[2e^(-γ)]^4         (其中3<p<√N)
根据推广的梅滕斯定理
32 C^3 ∏[1-1/(p-2)^2]^2 ∏[1-1/(p-3)^2] N/(lnN)^4 (其中3<p<√N  C是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/(p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/(p-3)^2]=0.6708911......)
32 C^3 ∏[1-1/(p-2)^3] ^2 ∏[1-1/(p-3)^2]=4.15118.
4.15118......N/(lnN)^4      (其中3<p<√N)                 
又因为在分析除以5余数是1,2,3,4,0中②和⑤有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5最少的这种情况实际上不存在,最少是(1-3/5)=2/5 ,同样除以7余数中两组占(1-4/7)=3/7最少的这种情况实际上不存在,但是仍然有两组是(1-4/7)=3/7,以此类推除以p余数中两组占(1-4/p)最少的这种情况实际上不存在,但是仍然有(p-5)组是(1-4/7),因为3<p,除了5以外,最少都有占(1-4/p)最少的这种情况存在
由此有N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
2×4.15118......N/(lnN)^4      (其中3<p<√N)
可以看出N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
2×(N以内最密4生素数群的组数)
 楼主| 发表于 2024-2-1 21:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 大傻8888888 于 2024-2-1 21:34 编辑

我们知道孪中一定是6的倍数,设N/6=m,则有:
       1      2      3      4      5      6      7      8      9      10......m-2  m-1
    m-1  m-2   .....10      9      8      7      6       5      4      3      2      1
它们上下相加都等于m
设m-1  m-2  m-3  m-4  m-5 中m是5的倍数它们的除以5的余数则为:
       4      3      2     1      0
这个上下相加用除以5的余数表示则有:
       1      2      3      4      0      1      2      3      4      0.......
       4      3      2      1      0      4      3      2      1      0.......
简化一下则为:
①    1      2      3      4      0
       4      3      2      1      0
可以看出①里面五组有2和3,3和2以及0和0三组有可能是孪中之和,占(1-2/5)=3/5
m-1除以5还可以余2,3,4,0,分别用上下相加用除以5的余数表示则有以下4种:
② 1      2      3      4      0
    3      2      1      0      4
③ 1      2      3      4      0
    2      1      0      4      3
④ 1      2      3      4      0
    1      0      4      3      2
⑤ 1      2      3      4      0
    0      4      3      2      1
1      2      3      4      5中虽然1是孪中,但是5a+1不会是孪中,所以可以认为余数为1或者4都不可能是孪中
所以上面②和⑤里面五组只有一组有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5,③和④里面五组则有两组有可能是孪中之和,占(1-3/5)=2/5
按照上面的分析②和⑤有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5最少,③和④是2/5不多不少,①是3/5最多
同样道理上下相加用除以7的余数表示则有:
①    1      2      3      4      5      6      0
       6      5      4      3      2      1      0
②    1      2      3      4      5      6      0
       5      4      3      2      1      0      6
③    1      2      3      4      5      6      0
       4      3      2      1      0      6      5
④    1      2      3      4      5      6      0
       3      2      1      0      6      5      4
⑤    1      2      3      4      5      6      0
       2      1      0      6      5      4      3
⑥    1      2      3      4      5      6      0
       1      0      6      5      4      3      2
⑦    1      2      3      4      5      6      0
       0      6      5      4      3      2      1
因为余数为1或者6都不可能是孪中
所以①里面有可能是孪中之和的占(1-2/7)=5/7,③和⑥占(1-3/7)=4/7,②④⑤⑦各占(1-4/7)=3/7是最少的
依此类推除以p的p种情况有可能是孪中之和占比最少为(1-4/p),不多不少为(1-3/p),最多为(1-2/p)。这样用连乘积表示N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
(N/6)∏(1-4/p)         (其中3<p<√N)
当n趋近无限大 时则为(N/6)∏(1-4/p)/[2e^(-γ)]^4         (其中3<p<√N)
根据推广的梅滕斯定理
32 C^3 ∏[1-1/(p-2)^2]^2 ∏[1-1/(p-3)^2] N/(lnN)^4 (其中3<p<√N  C是拉曼纽扬系数            ∏[1-1/(p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/(p-3)^2]=0.6708911......)
32 C^3 ∏[1-1/(p-2)^3] ^2 ∏[1-1/(p-3)^2]=4.15118......
4.15118......N/(lnN)^4 (其中3<p<√N)                 
又因为在分析除以5余数是1,2,3,4,0中②和⑤有可能是孪中之和,占(1-4/5)=1/5最少的这种情况实际上不存在,最少是(1-3/5)=2/5 ,同样除以7余数中两组占(1-4/7)=3/7最少的这种情况实际上不存在,但是仍然有两组是(1-4/7)=3/7,以此类推除以p余数中两组占(1-4/p)最少的这种情况实际上不存在,但是仍然有(p-5)组是(1-4/7),因为3<p,除了5以外,最少都有占(1-4/p)最少的这种情况存在
由此有N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
2×4.15118......N/(lnN)^4 (其中3<p<√N)
可以看出N以内写成两个孪中和的个数最少应该是:
2×(N以内最密4生素数群的组数)
以上得出的值是双计法,如果按单计法则:
N以内写成两个孪中和的个数最少应该等于(N以内最密4生素数群的组数)
也就是4.15118......N/(lnN)^4
根据上面公式,当N大于等于160时,N以内写成两个孪中和的个数最少应该有一个
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