【资料】北大强基，x2 + y2 +xy 之最小值

dodonaomikiki

这道题目解答，
非常有型！
就是针对所求等式，展开了旋转和拉伸！



这样做仿射，
很有新意！

波斯猫猫

题：已知x^2-xy-6y^2=1，求x^2+xy+y^2的最小值。

思路(参数化)：由条件有(x+2y)(x-3y)=1，令x+2y=t，则x-3y=1/t.

解得x=(3t^2+2)/(5t)，y=(t^2-1)/(5t).把此代入所求式有，

x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=[(4t^2+1)/(5t)]^2-(3t^4-t^2-2)/(5t)^2

=(13t^2+3/t^2+9)/25≥(2√39+9)/25(仅当t^4=3/13时，等号成立).

dodonaomikiki

ganxie感谢猫猫老师！


我接下来争取研读弄懂！

dodonaomikiki

接下来，【仔细】观看一哈，考察一哈，这个仿射园
是怎么样子的！
有多大！

dodonaomikiki

\begin{align*}


r^2&=  \frac{1}{7\sqrt{3}sin 2\theta    +3cos 2\theta-9   }\\

&=\frac{1}  { \sqrt{156}  \bullet    \frac { 7\sqrt{3} }{ \sqrt{156}   }    \bullet     sin 2\theta    +     \frac { 3}{ \sqrt{156}  }    \bullet     cos 2\theta-9   }\\

&=  \frac{1}{   \sqrt{156}      \bullet    sin( 2\theta    + \Phi   )-9   }\\
&=(min) \frac{1}{      \sqrt{156}    -9   }\\

&=(min) \frac{1}{    2  \sqrt{39}    -9   }\\

\Longrightarrow    r=\sqrt{    \frac{1}{      2  \sqrt{39}      -9   }       }\\




\end{align*}

dodonaomikiki

从而得出，这个仿射园是一个什么样的元，
来看一看嘛！


【半径实际上，落在0,5  和0,55之间！】

dodonaomikiki

整理毛毛老师的解答



\begin{align*}
(x+2y)(x-3y)&=1\\
令x+2y&=t，则x-3y=1/t\\

\Longrightarrow       x&=(3t^2+2)/(5t)，y=(t^2-1)/(5t).把此代入所求式\\

x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy&=[(4t^2+1)/(5t)]^2-(3t^4-t^2-2)/(5t)^2\\

&=(13t^4+9t^2+3)/25t^2≥(2√39+9)/25(仅当t^4=3/13时，等号成立)\\
\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
进一步考察  \\
下面这个式子\\
(13t^4+9t^2+3)/25t^2\\
【先行抹掉9t^2这一项】\\
~~~~~~~~\\

\frac{    13^2   }{25}+  \frac{     3}{  25t^2 }\\
\Longrightarrow        13  t^2 &=\frac{      3}{ t^2 }\\
\Longrightarrow      t^4&=\frac{   3}{    13}\\

\Longrightarrow      min&=  \\
&\frac{    13   }{25}  \bullet    \frac{    √39   }{13}+\frac{    3   }{25}  \bullet    \frac{ 13      }{√39     }\\
&=\frac{    √39   }{25} +\frac{    √39   }{25} \\
&=\frac{    2√39   }{25} \\



\end{align*}