假设p,p+d,p+2d,...,p+5d是六个素数,其中p和d是正整数. 证明d是30的倍数.

天山草

10# 楼的证明基本正确，但是还有个小漏洞。就是等差数列的项数必须是六项，而在 10# 楼的证明中，似乎有五项就够了，这是不对的。
因为有唯一的一个反例，就是当 p=5 、数列只有五项时的情况：
d = 6,  p = 5,  p+d = 11,  p+2d = 17,  p+3d = 23,  p+4d = 29
或者  d = 12,  p = 5,  p+d = 17,  p+2d = 29,  p+3d = 41,  p+4d = 53
......
等等。

在上面这个反例中，公差只是 3 的倍数，不是 30 的倍数。

为什么会出现这个特例？因为在上面情况下有 p 与 d  的乘积能被 30 整除。

为了排除这个反例，需要证明，如果 n （n ≥ 5） 个素数是等差数列，且第一项 p1 ≥ 7，则公差一定是 30 的倍数。
对于 n =6 和 n 大于 6 的情况，似乎也需要有 p1 ≥ 7 这个条件，因为 p1=3 和 5 时，猜想都是无解（只是猜想，因为我还没有证明这一点）。

总之，对于楼主的原问题，可将六项改为五项，同时增加第一项 p≥7 这个条件，则结论（公差一定是 30 的倍数）才正确和无懈可击。
在此情况下，10# 楼的证明中也需要说明等差数列的第一项  p 必须大于 5。

cgl_74

天山草 发表于 2024-1-9 11:50
10# 楼的证明基本正确，但是还有个小漏洞。就是等差数列的项数必须是六项，而在 10# 楼的证明中，似乎有五 ...

感谢阅读证明！
这个题目是没有错的，证明也无误。你举的反例不成立。因为证明中写了：p不为5的倍数，否则p+5d是合数。
6个数字在证明过程中都用到了。至于是否能改成5个，我还没分析过，不下结论。