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求和k=1(1)k1kn=01k2n+1

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发表于 2024-1-8 08:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:求和 k=1(1)k1kn=01k2n+1.
发表于 2024-1-8 10:32 | 显示全部楼层
数学万花筒(您会怀疑自己的眼睛吗)。

k=1n=012nk2=π23
k=1n=013nk2=π24
k=1n=016nk2=π25
k=1n=112nk2=π26
k=1n=0(1)n6nk2=π27
k=1n=0(1)n3nk2=π28
k=1n=0(1)n2nk2=π29



k=1n=2(1)n2nk2=k=1n=213nk2=k=1n=1(1)k+14nk2=k=1n=1(1)n+15nk2=k=1n=117nk2=π236

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wlc1 + 20 很给力!
cz1 + 15 很给力!

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发表于 2024-1-8 13:56 | 显示全部楼层
接2楼。

k=1n=112nk2=k=1n=0(1)k12nk2=(k=11k2)212=k=11k2=π26

接主帖。

k=1(1)k1kn=012nk+1=k=1n=0(1)k12nk2+k=(k=11k2+k)212=k=11k2+k=1
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发表于 2024-1-8 17:18 | 显示全部楼层
寻找数据规律,是守恩兄的强项。
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发表于 2024-1-9 09:32 | 显示全部楼层
从简单说起,  解锁去枷很有必要。

6212+6222+6232+6242+6252+6262+=π22
6312+6322+6332+6342+6352+6362+=π23
6412+6422+6432+6442+6452+6462+=π24
6512+6522+6532+6542+6552+6562+=π25
6612+6622+6632+6642+6652+6662+=π26
6712+6722+6732+6742+6752+6762+=π27
6812+6822+6832+6842+6852+6862+=π28
6912+6922+6932+6942+6952+6962+=π29



k=16ak2=k=1n=16(a+1)nk2=k=1n=26(a+1)n1k2=k=1n=26(a1)ank2=k=1n=212(1a)(1)kank2

k=16ak2=k=11k2n=06(a+1)n+1=k=11k2n=16(a+1)n=k=11k2n=26(a+1)n1

k=16ak2=k=1(1)kk2n=012(a+1)n+1=k=1(1)kk2n=112(a+1)n=k=1(1)kk2n=212(a+1)n1

k=16ak2=k=1(1)k1k2n=012(a+1)n+1=k=1(1)k1k2n=112(a+1)n=k=1(1)k1k2n=212(a+1)n1
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发表于 2024-1-9 10:36 | 显示全部楼层
谢谢 elim!借此宝地,出一道题(答案是有理数)。
: k=11ak+k2   a=1,2,3,4,
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 楼主| 发表于 2024-1-10 05:19 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-1-8 19:36
谢谢 elim!借此宝地,出一道题(答案是有理数)。
\(题:  求和\ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{a ...

题:k=11ak+k2(aN+)

\therefore\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{ak+k^2}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{ak+k^2}=\frac{1}{a}\lim_{n\to\infty}\big(\sum_{k=1}^a\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^a\frac{1}{n+k}\big)
\qquad\qquad\quad\;\;\small\displaystyle=\frac{1}{a}\sum_{k=1}^a\frac{1}{k}=\frac{1}{a}\big(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{a}\big)

回到主题:期待反馈

题:求和 \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{k2^n+1}.
所论二重级数绝对收敛(被优级数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}.控制)因而可重排:
\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k(k2^n+1)}.
f_n(x)=\small\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^{k2^n+1}}{k(k2^n+1)}\;(x\in[0,1],\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)).
f_n'(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}(x^{2^n})^k}k=\ln(1+x^{2^n}). 知,
\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\ln(1+x^{2^n})=\ln\left(\prod_{n=0}^{\infty}(1+x^{2^n})\right)
\qquad\;\;=\ln(1+x+x^2+x^3+\cdots)=-\ln(1-x)
可见f(1)=\small\displaystyle -\int_0^1\ln(1-x)\,dx=1.
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发表于 2024-1-10 08:11 | 显示全部楼层
谢谢 elim!精彩!\displaystyle\frac{1}{ak+k^2}=\frac{1}{a}\bigg(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+a}\bigg).\ \  精彩!谢谢 elim!

\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n*k+1}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{2^n*k^2+k}=\bigg(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+k}\bigg)\frac{2^{\infty}-1}{2^{\infty}}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+k}=1

最后一步需要补充"精彩",  就好了。

可以拓展:  求和\ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{a*k+k^2}.\ \ 其中\ a\ 可以是正整数(包括主题"1"),可以是正数,也可以是负数。
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发表于 2024-1-10 10:04 | 显示全部楼层
谢谢 elim!继续讨教。

求证:\small\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{a^nk^2}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{a^nk^2}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{a}{a^nk^2}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{a}{a^nk^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac{a}{(a-1)k^2}=\frac{a\pi^2}{6(a-1)}
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 楼主| 发表于 2024-1-10 11:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2024-1-9 20:33 编辑

提示 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{a^nk^2}=\big(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{a^n}\big)\big(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\big)

回到主题:期待反馈

题:求和 \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{k2^n+1}.
所论二重级数绝对收敛(被优级数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}.控制)因而可重排:
\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k(k2^n+1)}.
f_n(x)=\small\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^{k2^n+1}}{k(k2^n+1)}\;(x\in[0,1],\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)).
f_n'(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}(x^{2^n})^k}k=\ln(1+x^{2^n}). 知,
\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\ln(1+x^{2^n})=\ln\left(\prod_{n=0}^{\infty}(1+x^{2^n})\right)
\qquad\;\;=\ln(1+x+x^2+x^3+\cdots)=-\ln(1-x)
可见f(1)=\small\displaystyle -\int_0^1\ln(1-x)\,dx=1.
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
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\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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